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Topics related to measure theory.

略去，详见测度论专栏中的文章

Expectations

令 \(X\) 为 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) 上的随机变量，\(\mathbb{E}[X]\) 为其期望。一些期望的特殊表示如下：

• \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) 为简单函数，即，\(X\) 在有限集 \(\left\{x_{1},\ldots, x_{n} \right\}\) 中取值，则：

  \[\mathbb{E}[X] := \sum\limits^{n}_{i=1} x_{i} P(X = x_{i})
  \]

• \(X \geq 0\) almost surely，则：

  \[\mathbb{E}[X] := \sup \left\{ \mathbb{E}[Y]: ~ Y \mbox{ is simple, } ~ 0 \leq Y \leq X \mbox{ almost surely. } \right\}
  \]

  注意，非负随机变量的期望可能为 \(\infty\)。

• \(\mathbb{E}[X^{+}]\) 或 \(\mathbb{E}[X^{-}]\) 其中之一是有限的，则：

  \[\mathbb{E}[X] := \mathbb{E}[X^{+}] - \mathbb{E}[X^{-}]
  \]

• \(X\) 为一个向量，且 \(\mathbb{E}[|X|] < \infty\)，则：

  \[\mathbb{E}\Big[\left(X_{1}, \ldots, X_{d}\right)\Big] := \Big( \mathbb{E}[X_{1}], \ldots, \mathbb{E}[X_{d}] \Big)
  \]

Jensen's Inequality （琴生不等式）

令 \(X\) 为一个随机变量，\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 为一个凸函数。那么当 \(X\) 的期望存在时：

若 \(g\) 为严格凸函数，则以上不等式可随之写为严格大于的形式（除非 \(X\) 取常数值）。

• 注（Convex function）：

  函数 \(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) 称作一个凸函数，如果：

  \[\forall ~ t \in [0, ~ 1]: ~ \forall ~ x_{1}, x_{2} \in X: ~ f\Big( tx_{1} + (1-t) x_{2} \Big) \leq t\cdot f(t x_{1}) + (1-t) \cdot f(x_{2})
  \]

Self-Financing Condition

A self-financing strategy is defined as a consumption stream \((c_{t})_{t\geq 0}\) which follows:

Numeraire (计价单位)

• \((\eta_t)_{t\geq 0}\) 为 previsible process.

• \(\eta_{t} \cdot P_{t} > 0\) almost surely, i.e., \(P(\eta_t \cdot P_{t} > 0) = 1\).

• \((\eta_{t})_{t\geq 0}\) 满足 self-financing condition, i.e.,

  \[(\eta_{t} - \eta_{t+1}) \cdot P_{t} = 0 \qquad \quad \mbox{for } \forall t\geq 0
  \]

  这实际上意味着：

  \[\eta_{t} \cdot P_{t} = \eta_{t+1} \cdot P_{t} \qquad \qquad \text{for } ~ \forall t \geq 0
  \]

  注意，以上式子中两侧的 \(P_{t}\) 不能随手约去，因为等式两边是两个向量的内积运算。

Numeraire Asset

• A numeraire asset is an asset with strictly positive price.

• 若 asset \(i\) 为一个 numeraire asset，那么对于 \(\forall t \geq 0\)，定义 constant portfolio \(\eta\)：

  \[\eta_{t}^{j} = \begin{cases}
  1 \qquad \text{if } j = i\\
  0 \qquad \text{otherwise}
  \end{cases}
  \]

  为一个 numeraire portfolio。

Investment-Consumption Strategy

其中 \(x\) 为初始财富。

Terminal Consumption Strategy

其中 \(H\) 为 previsible process，non-random \(T > 0\) 使得以上 holds almost surely。

Pure Investment Strategy

对于 \(\forall t \geq 0\)，每一期持仓 \(H_{t}\)，但将每一期的 consumption \(c_{t}\) 不用于消费，而是用于投资 numeraire portfolio \(\eta_{t}\)。

Theorem. 局部鞅 \(\rightarrow\) 鞅的充分条件 (local martingales to true martingales: sufficient condition)

令 \(X\) 为一个离散或连续的 local martingale，令过程 \((Y_{t})_{t\geq 0}\) 满足：

若 \(\mathbb{E}[Y_{t}] \leq \infty, ~ \mbox{ for } ~ \forall ~ t \geq 0\)，那么 \(X\) 为一个 true martingale。

证明：

由于 \((X_{t})_{t\leq 0}\) 为一个 local martingale，根据定义存在一个 stopping time series (localizing sequence)：\((\tau_{N})_{N\geq0}\)，满足 \(\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \tau_{N} = \infty\)，使得对于 \(\forall ~ N \geq 0\)，\(\Big(X^{\tau_{N}}_{t}\Big)_{t \geq 0} = \Big(X_{t \land \tau_{N}}\Big)_{t\geq 0}\) 为 true martingale。

首先证明 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 可积。对于任意 \(t \geq 0\)，取任意 \(T \geq t\)，根据条件：\(|X_{t}| \leq Y_{T}\) almost surely。又因为：\(\forall ~ T \geq 0: ~ \mathbb{E}[Y_{T}] < \infty\)，那么：

因此 \((X_{t})_{t\geq 0}\) integrable。

将 \(X_{t\land\tau_{N}}\) 视作一个下标为 \(N\) 的序列，即：

注意到 \(X_{t\land \tau_{N}} = X_{\min(t, \tau_{N})} \longrightarrow X_{t}\) almost surely with \(N \longrightarrow \infty\)，即：

这是因为 \(\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \tau_{N} = \infty\)，\(t \land \tau_{N} = \min(t, \tau_{N})\) 自然随 \(N\) 增大而收敛于 \(t\)。

所以对于 \(\forall ~ 0 \leq s \leq t\)：

因此：local martingale \((X_{t})_{t\geq 0}\) 在给定的条件下也为一个 true martingale。

• 注意：

  以上带星号的那一步推导中，鞅 \(\Big(X_{t\land\tau_{N}}\Big)_{t\geq 0}\) 的下标依然是 \(t\)，尽管现在复合为 \(t\land \tau_{N}\)。因此在这一步中我们只需将 \(t\) 替换为 \(s\) 即可。

Corollary.

假设 \(X\) 一个 离散 时间 local martingale，使对于 \(\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}[|X_{t}|] < \infty\)，那么 \(X\) 是一个 true martingale。

证明：

令 \(Y_{t} = |X_{0}| + |X_{1}| + \cdots + |X_{t}|\)。Trivially：

并且由于：\(\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}[|X_{t}|] < \infty\)，那么：

所以 \((Y_{t})_{t\geq 0}\) 可积，并且此时 \((X_{t})_{t \leq 0}\) 和 \((Y_{t})_{t\geq 0}\) 恰满足上述 Sufficient Condition，因此 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 为一个 true martingale。

Supermartingale and Submartingale （上鞅与下鞅）

上鞅（Supermartingale）

相关于 filtration \(\mathcal{\left\{ F_{t} \right\}}_{t\geq 0}\) 的一个 supermartingale（上鞅）是一个 adapted stochastic process \((U_{t})_{t\geq 0}\)，满足以下性质：

• （Integrability）

  \[\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}\big[\left| U_{t} \right|\big] < \infty
  \]

• （Decrease in average)

  \[\forall ~ 0 \leq s \leq t: ~ \mathbb{E}\big[U_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] \leq U_{s}
  \]

下鞅（Submartingale）

相关于 filtration \(\mathcal{\left\{ F_{t} \right\}}_{t\geq 0}\) 的一个 submartingale（下鞅）是一个 adapted stochastic process \((V_{t})_{t\geq 0}\)，满足以下性质：

• （Integrability）

  \[\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}\big[ | V_{t} | \big] < \infty
  \]

• （Increase in average)

  \[\forall ~ 0 \leq s \leq t: ~ \mathbb{E}\big[V_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] \geq V_{s}
  \]

鞅、上鞅、下鞅

A martingale is a stochastic process that is both a supermartingale and a submartingale.

Theorem.

假设 \(X\) 是一个连续或离散时间上的 local martingale。如果 \(X_{t} \geq 0\) 对于 \(\forall ~ t \geq 0\) 都成立，那么 \(X\) 是一个 supermartingale（上鞅）。

证明：

令 \((\tau_{N})_{N\geq 0}\) 为相关于 local martingale \((X_{t})_{t\geq 0}\) 的 localizing sequence，即：

首先证明 \((X_{t})_{t \geq 0 }\) 可积。由 Fatou's Lemma：

在条件期望上运用 Fatou's Lemma，对于 \(\forall ~ 0 \leq s \leq t:\)

因此 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 为一个 supermartingale（上鞅）。

Corollary.

如果 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 是一个离散时间 local martingale，且对于任意 $ t \geq 0$，有 \(X_{t} \geq 0\) almost surely，那么 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 是一个 true martingale。

证明：

通过上述 Theorem，我们有：

由于 \(X\) 是可积的，通过上一条 Corollary 可以得出 \((X_{t})_{t\geq 0}\) 是一个 martingale 的结论。

Theorem.

假设：

其中，\(K\) 是一个 previsible process，\(M\) 是一个 local martingale，\(X_{0}\) 是一个常数。

如果对于某些非随机的 \(T > 0\)，有：\(X_{T} \geq 0\) almost surely，那么 \((X_{t})_{0\leq t \leq T}\) 是一个 true martingale。

证明：

略。（太长了，以后有机会补上。）

随机贴现因子（Stochastic Discount Factor / Pricing Kernel / State Price Density）

在一个没有股息的市场中，在时刻 \(s\) 和 \(t\) 间（\(0 \leq s < t\)）的随机贴现因子是一个 adapted positive \(\mathcal{F}_{t}-\) measurable random variable \(\rho_{s,t}\)， 使得：

• 令 \(Y\) 为一个 martingale deflator（i.e. \(\forall 0 \leq s < t: ~ \mathbb{E}[Y_{t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}] = Y_{s}P_{s}\)），令 \(\rho_{s,t} = \frac{Y_{t}}{Y_{s}}\)，若 \(\rho_{s,t}P_{t}\) 可积，那么 \(\rho_{s,t}\) 为时间 \(s\) 与 \(t\) 间的 pricing kernel。

  • 证明：

    对于 positivity，由于 \(Y\) 为 martingale deflator，则 \(\forall t \geq 0: ~ Y_{t} > 0\)，所以 \(\rho_{s,t} = \frac{Y_{t}}{Y_{s}} > 0\)，并且：

    \[\begin{align*}
    \mathbb{E} \big[ \rho_{s,t} P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \big] & = \mathbb{E} \Big[ \frac{Y_{t}}{Y_{s}} P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \Big] \\
    & = \frac{1}{Y_{s}} \mathbb{E} \big[ Y_{t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \big] \\
    & = \frac{1}{Y_{s}} \cdot Y_{s} P_{s} \\
    & = P_{s}
    \end{align*}
    \]

    因此 \(\rho_{s,t}\) 为一个 pricing kernel。

• 相反地，对于 \(s\geq 0\)，假设 \(\rho_{s, s+1}\) 为 时间 \(s\) 与 \(s+1\) 间的 pricing kernel，令 \(Y_{t} = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t}\)，且 \(YP\) 可积，那么 \(Y\) 为一个 martingale deflator。

  • 证明：

    对于 \(\forall t \geq 0\)，由于 pricing kernel 为正随机变量，则 \(Y_{t} = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} > 0\)，并且：

    \[\begin{align*}
    \mathbb{E} \big[Y_{t+1}P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] & = \mathbb{E} \big[\rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} \rho_{t, t+1} \cdot P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] \\
    & = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} \cdot \mathbb{E} \big[\rho_{t, t+1} \cdot P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] \qquad \text{(adaptness)}\\
    & = Y_{t} \cdot P_{t} \qquad \text{(by definition)}
    \end{align*}
    \]

    因此，\((Y_{t})_{t\geq 0}\) 为一个 martingale deflator。

Proposition.

考虑存在一个 numeraire \(\eta\) 的市场，且令：\(N_{t} = \eta_{t} \cdot P_{t} \quad \forall t \geq 0\)。令 \(H\) 为一个 investment-consumption strategy，即，\(H\) 的 consumption stream 定义为：

其中 \(x\) 为初始财富。令：

那么，\(K\) 为一个 pure-investment strategy from the same initial wealth \(x\)。

特殊地，当且仅当 \(K\) 为一个 terminal-consumption arbitrage 时，\(H\) 为一个 arbitrage。

证明：

因此，对于 \(\forall t \geq 0\)，有：

由假设：\((\eta_{t})_{t\geq 0}\) 为 pure-investment strategy，则 \((K_{t})_{t\geq 0}\) 亦为 pure-investment strategy。

假设对于 non-random \(T\)，有：\(c_{T} = H_{T}\cdot P_{T}\)，那么：

则：当且仅当 某些 \(c_{t} ~ (0 \leq t \leq T)\) 取值为 strictly positive 时， 等式左侧 \(K_{T} \cdot P_{T}\) 为 strictly positive。

Lemma. (Bayes formula; from homework 5.)

令 \(\mathbb{P}\) 和 \(\mathbb{Q}\) 为定义在 \((\Omega, ~ \mathcal{F})\) 上的 equivalent probability measures，令 Radon - Nikodym derivative: \(Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\)，令 \(\mathcal{G} \subset \mathcal{F}\) 为一个 \(\sigma-\)field。那么：

证明：

令 \(Y = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[ZX ~ | ~ \mathcal{G}]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z ~ | ~ \mathcal{G}]}\)，欲证：\(\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] = Y\)，这等价于：

对于 \(\forall G \in \mathcal{G}\)：

由 Radon-Nikodym derivative \(Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \implies d\mathbb{Q} = Z \cdot d\mathbb{P}\)：

因此，目标等价于证明：对于 \(\forall G \in \mathcal{G}\)，有：

注意到 \(Y = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big]\) 为 \(\mathcal{G}-\)measurable，那么RHS：

证毕。