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  • 2021.12.25：新增 ACAM 部分。
  • 2021.12.26：新增 SAM 部分。
  • 2022.2.9：计划重构文章。
  • 2022.2.20：重构完成，增加部分例题。

建议先学习 确定有限状态自动机，上接 常见字符串算法。

基本定义与约定：

  • 称字符串 \(T\) 匹配 \(S\) 为 \(T\) 在 \(S\) 中出现。
  • 模式串：相当于题目给出的 字典，用于匹配的字符串。下文也称 单词。
  • 文本串：被匹配的字符串。
  • 更多约定见 常见字符串算法。

1. AC 自动机 ACAM

前置知识：字典树，KMP 算法与 动态规划 思想。

AC 自动机是一类确定有限状态自动机，这说明它有完整的 DFA 五要素，分别是起点 \(s\)（Trie 树根节点），状态集合 \(Q\)（Trie 树上所有节点），接受状态集合 \(F\)（所有以某个单词作为后缀的节点），字符集 \(\Sigma\)（题目给定）和转移函数 \(\delta\)（类似 KMP 求解）。

AC 自动机全称 Aho-Corasick Automaton，简称 ACAM。它的用途非常广泛，是重要的字符串算法（\(8\) 级）。

1.1 算法详解

AC 自动机用于解决 多模式串 匹配问题：给定 字典 \(s\) 和文本串 \(t\)，求每个单词 \(s_i\) 在 \(t\) 中出现的次数。当然，它的实际应用十分广泛，远超这一基本问题。ACAM 与 KMP 的不同点在于后者仅有一个模式串，而前者有多个。

朴素的基于 KMP 的暴力时间复杂度为 \(|t|\times N + \sum |s_i|\)，其中 \(N\) 是单词个数。因为进行一次匹配的时间复杂度为 \(|s_i| + |t|\)。当单词数量 \(N\) 较大时，无法接受。

多串问题自然首先考虑建出字典树。根据其定义，字典树上任意节点 \(q\in Q\) 与所有单词的某个前缀 一一对应。设节点（节点也称状态）\(i\) 表示的字符串为 \(t_i\)。

借鉴 KMP 算法的思想，我们考虑对于每个状态 \(q\)，求出其 失配指针 \(fail_q\)。类似 KMP 的失配数组 \(nxt\)，失配指针的含义为：\(q\) 所表示字符串 \(t_q\) 的 最长真后缀 \(t_q[j, |t_q|]\ (2\leq j\leq |t_q| + 1)\)，使得该后缀作为某个单词的前缀出现。这说明 \(t_q[j, |t_q|]\) 恰好对应了字典树上某个状态，因此一个状态的失配指针指向另一个长度比它短的状态。注意，这样的后缀 可能不存在，因此失配指针可能指向表示空串的根节点。

从 \(q\) 向字符串 \(fail_q\) 连一条有向边，就得到了 ACAM 的 fail 树。

  • 例如，当 \(s = \{\texttt{b},\ \texttt{ab}\}\) 时，\(\tt ab\) 会向 \(\tt b\) 连边，因为 \(\tt ab\) 最长的（也是唯一的）在 \(s_i\) 中作为前缀出现的后缀为 \(\tt b\)。
  • 再例如，当 \(s = \{\texttt{aba},\ \texttt {baba}\}\) 时，\(\tt ab\) 会向 \(\tt b\) 连边， \(\tt bab\) 会向 \(\tt ab\) 连边，\(\tt aba\) 会向 \(\tt ba\) 连边，而 \(\tt baba\) 会向 \(\tt aba\) 连边。对于每一条有向边 \(q \to fail_q\)，后者是前者的后缀，也是 \(s_i\) 的前缀。

考虑用类似 KMP 的算法求解失配指针：首先令 \(fail_q\gets fail_{fa_q}\)。若当前的 \(fail_q\) 没有 \(fa_q\to q\) 这条（字典树上的）边所表示的字符 \(c\) 的转移，则令 \(fail_q\gets fail_{fail_q}\)，否则 \(fail_q = \mathrm{trans}(fail_q, c)\)，即字典树上在 \(fail_q\) 处添加字符 \(c\) 后到达的状态。若 \(fail_q\) 已经指向根，但还是没找到出边，则 \(fail_q\) 最终就指向根。

失配指针已经足够强大，但这并不是 AC 自动机的完全体。我们尝试将每个状态的所有字符转移 \(\delta(i, c)\) 都封闭在状态集合 \(Q\) 里面。把 KMP 自动机的转移拎出来观察

\[\delta(i, c) =
\begin{cases}
i+1 & s_{i + 1} = c \\
0 & s_{i + 1} \neq c \land i = 0 \\
\delta(nxt_i, c) & s_{i + 1} \neq c \land i \neq 0 \\
\end{cases}
\]

设字典树的根为节点 \(0\)，AC 自动机的转移可类似地写为：

\[\delta(i,c) = \begin{cases}
\mathrm{trans}(i, c) & \mathrm{if}\ \mathrm{trans}(i, c)\ \mathrm{exist} \\
0 & \mathrm{if}\ \mathrm{trans}(i, c)\ \mathrm{doesn't\ exist} \land i = 0\ (\mathrm{which\ is \ root}) \\
\delta(fail_i, c) & \mathrm{if}\ \mathrm{trans}(i, c)\ \mathrm{doesn't\ exist} \land i \neq 0
\end{cases}
\]

\(\delta(i,c)\) 表示往状态 \(i\) 后面添加字符 \(c\)，所得字符串的 最长的 与 \(s_i\) 前缀 匹配的 后缀 所表示的状态。也可理解为从 \(i\) 开始跳 \(fail\) 指针，遇到的第一个有字符 \(c\) 的转移对应转移到的节点：若 \(i\) 本身有转移，则 \(\delta(i, c)\) 就等于 \(\mathrm{trans}(i, c)\)，否则向上跳一层 \(fail\) 指针，等于 \(\delta(fail_i, c)\)。

根据已有信息递推，这是 动态规划 的核心思想。即求解 \(\delta\) 函数的的过程本质上是一类 DP。

当 \(\mathrm{trans}(i, c)\) 存在时，设其为 \(q\)， 则有 \(fail_q = \delta(fail_i, c)\)。因为根据求 \(fail_q\) 的方法，我们会先令 \(fail_q \gets fail_i\)，然后跳到第一个有字符 \(c\) 的位置，令 \(fail_q\) 等于该位置添加 \(c\) 转移到的状态。这和 \(\delta(fail_i, c)\) 的定义等价。

有了这一性质，我们就不需要预先求出失配指针，而是在建造 AC 自动机的同时一并求出。由于我们需要保证在计算一个状态的转移时，其失配指针指向的状态的转移已经计算完毕，又因为失配指针长度小于原串长度，故使用 BFS 建立 AC 自动机。一般形式的 AC 自动机代码如下：

int node, son[N][S], fa[N];
void ins(string s) { // 建出 trie 树
	int p = 0;
	for(char it : s) {
		if(!son[p][it - 'a']) son[p][it - 'a'] = ++node;
		p = son[p][it - 'a'];
	}
}
void build() { // 建出 AC 自动机
	queue <int> q;
	for(int i = 0; i < S; i++) if(son[0][i]) q.push(son[0][i]); // 对于第一层特判，因为 fa[0] = 0，此处即转移的第二种情况
	while(!q.empty()) { // 求得的 son[t][i] 就是文章中的转移函数 delta(t, i)，相当于合并了 trie 和 AC 自动机的转移函数
		int t = q.front(); q.pop();
		for(int i = 0; i < S; i++)
			if(son[t][i]) fa[son[t][i]] = son[fa[t]][i], q.push(son[t][i]); // 转移的第一种情况：原 trie 图有 trans(t, i) 的转移
			else son[t][i] = son[fa[t]][i]; // 转移的第三种情况
	}
}

特别的，在 ACAM 上会有一些 终止节点 \(p\)，代表一个单词或以一个单词结尾，即 \(p\) 对应的字符串 \(t_p\) 的某个 后缀 在字典 \(s\) 中作为 单词 出现。 若状态 \(p\) 本身表示一个单词，即 \(t_p\in s\)，则称为 单词节点。所有终止节点 \(p\) 对应着 DFA 的 接受状态集合 \(F\)：ACAM 接受且仅接受以给定词典中的某一个单词结尾的字符串。

总结一下我们使用到的约定和定义：

  • 节点也被称为 状态。
  • 设字典树上状态 \(i\) 所表示的字符串为 \(t_i\)。
  • 失配指针 \(fail_q\) 的含义为 \(q\) 所表示字符串 \(t_q\) 的最长真后缀 \(t_q[j, |t_q|]\ (2\leq j\leq |t_q| + 1)\) 使得该后缀作为某个单词的前缀出现。
  • \(\delta(i,c)\) 表示往状态 \(i\) 后添加字符 \(c\)，所得字符串的 最长的 与某个单词的 前缀 匹配的 后缀 所表示的状态。它也是从 \(i\) 开始，不断跳失配指针直到遇到一个有字符 \(c\) 转移的状态 \(p\)，添加字符 \(c\) 后得到的状态 \(\mathrm{trans}(p, c)\)。
  • 终止节点 \(p\) 代表一个单词，或以一个单词结尾。
  • 所有终止节点 \(p\) 组成的集合对应着 DFA 的 接受状态集合 \(F\)。
  • 若状态 \(p\) 本身表示一个单词，即 \(t_p\in s\)，则称为 单词节点。

1.2 fail 树的性质与应用

AC 自动机的核心就在于 fail 树。它有非常好的性质，能够帮我们解决很多问题。

  • 性质 0：它是一棵 有根树，支持树剖，时间戳拍平，求 LCA 等各种树上路径或子树操作。
  • 性质 1：对于节点 \(p\) 及其对应字符串 \(t_p\)，对于其子树内部所有节点 \(q\in \mathrm{subtree}(p)\)，都有 \(t_p\) 是 \(t_q\) 的后缀，且 \(t_p\) 是 \(t_q\) 的后缀 当且仅当 \(q\in \mathrm{subtree}(p)\)。根据失配指针的定义易证。
  • 性质 2：若 \(p\) 是终止节点，则 \(p\) 的子树全部都是终止节点。根据 fail 指针的定义，容易发现对于在 fail 树上具有祖先 - 后代关系的点对 \(p,q\)，\(t_p\) 是 \(t_q\) 的 Border，这意味着 \(t_p\) 是 \(t_q\) 的后缀。因此，若 \(t_p\) 以某个单词结尾，则 \(t_q\) 也一定以该单词结尾，得证。
  • 性质 3：定义 \(ed_p\) 表示作为 \(t_p\) 后缀的单词数量。若单词互不相同，则 \(ed_p\) 等于 fail 树从 \(p\) 到根节点上单词节点的数量。若单词可以重复，则 \(ed_p\) 等于这些单词节点所对应的单词的出现次数之和。
  • 常用结论：一个单词在匹配串 \(S\) 中出现次数之和，等于它在 \(S\) 的 所有前缀中作为后缀出现 的次数之和。

根据性质 3，有这样一类问题：单词有带修权值，多次询问对于某个给定的字符串 \(S\)，所有单词的权值乘以其在 \(S\) 中出现次数之和。根据常用结论，问题初步转化为 fail 树上带修点权，并对于 \(S\) 的每个前缀，查询该前缀所表示的状态到根的权值之和。

通常带修链求和要用到树剖，但查询具有特殊性质：一个端点是根。因此，与其单点修改链求和，不如 子树修改单点查询。实时维护每个节点的答案，这样修改一个点相当于更新子树，而查询时只需查单点。转化之前的问题需要树剖 + 数据结构 \(\log ^ 2\) 维护，但转化后即可时间戳拍平 + 树状数组单 \(\log\) 小常数解决。

补充：对于普通的链求和，只需差分转化为三个到根链求和也可以使用上述技巧。链加，单点查询 也可以通过转化变成 单点加，子树求和。只要包含一个单点操作，一个链操作，均可以将链操作转化为子树操作，即可将时间复杂度更大的树剖 BIT 换成普通 BIT。

  • 性质 4：把字符串 \(t\) 放在字典 \(s\) 的 AC 自动机上跑，得到的状态为 \(t\) 的最长后缀，满足它是 \(s\) 的前缀。

1.3 应用

大部分时候，我们借助 ACAM 刻画多模式串的匹配关系，求出文本串与字典的 最长匹配后缀。但 ACAM 也可以和动态规划结合：在利用动态规划思想构建的自动机上进行 DP，这是 DP 自动机 算法。

1.3.1 结合动态规划

ACAM 除了能够进行字符串匹配，还常与动态规划相结合，因为它精确刻画了文本串与 所有 模式串的匹配情况。同时，\(\delta\) 函数自然地为动态规划的转移指明了方向。因此，当遇到形如 “不能出现若干单词” 的字符串 计数或最优化 问题，可以考虑在 ACAM 上 DP，将 ACAM 的状态写进 DP 的一个维度。

例如非常经典的 [JSOI2007]文本生成器。题目要求至少包含一个单词，补集转化相当于求 不包含任何一个单词 的长为 \(m\) 的字符串数量。考虑到我们只关心当前字符串的长度，和它与所有单词的匹配情况，设 \(f_{i,j}\) 表示长为 \(i\) 且放到所有单词建出的 ACAM 上能够转移到状态 \(j\) 的字符串数量。转移即枚举下一个字符 \(c\) 是什么，\(f_{i,j}\to f_{i+1,\delta(j,c)}\)。根据限制，需要保证 \(j\) 和 \(\delta(j,c)\) 都不是终止节点，最终答案即 \(26^m-\sum_{\\ q\in Q\land q\notin F} f_{m, q}\)。时间复杂度 \(\mathcal{O}(nm|\Sigma||s_i|)\)。

1.3.2 结合矩阵快速幂

在上一部分的基础上，若 \(\sum |s_i|\) 很小而转移轮数非常多，可以将转移写成矩阵的形式。\(\delta(p, c)\) 为我们提供了转移矩阵：添加一个字符后，从状态 \(p\) 转移到 \(q\) 的方案数为 \(\sum_\limits{c} [\delta(p, c) = q]\)，即 \(A_{i, j} = \sum_\limits c [\delta(i, c) = j]\)。

具体转移方式视题目而定。矩阵乘法也可以是广义矩阵乘法，如例 XII.

1.4 注意点

  • 建出字典树后不要忘记调用 build 建出 ACAM。
  • 注意模式串是否可以重复。
  • 在构建 ACAM 的过程中，不要忘记递推每个节点需要的信息。如 \(ed_p\) 由 \(ed_{fa_p}\) 和状态 \(p\) 所表示的单词数量相加得到。

1.5 例题

I. P3808 【模板】AC 自动机（简单版）

本题相同编号的串多次出现仅算一次，因此题目相当于求：文本串 \(t\) 在模式串 \(s_i\) 建出的 ACAM 上匹配时经过的所有节点到根的路径的并上单词节点的个数。

设当前状态为 \(p\)，每次跳 \(p\) 的失配指针，加上经过节点表示的单词个数（单词可能相同）并标记，直到遇到标记节点 \(q\)，说明 \(q\) 到根都已经被考虑到。注意上述过程并不改变 \(p\) 本身。时间复杂度线性。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
const int S = 26;
int n, node, son[N][S], fa[N], ed[N];
string s;
void ins(string s) {
	int p = 0;
	for(char it : s) {
		if(!son[p][it - 'a']) son[p][it - 'a'] = ++node;
		p = son[p][it - 'a'];
	} ed[p]++;
}
void build() {
	queue <int> q;
	for(int i = 0; i < S; i++) if(son[0][i]) q.push(son[0][i]);
	while(!q.empty()) {
		int t = q.front(); q.pop();
		for(int i = 0; i < S; i++)
			if(son[t][i]) fa[son[t][i]] = son[fa[t]][i], q.push(son[t][i]);
			else son[t][i] = son[fa[t]][i];
	}
}
int main() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> s, ins(s);
	int p = 0, ans = 0; cin >> s, build();
	for(char it : s) {
		int tmp = p = son[p][it - 'a'];
		while(ed[tmp] != -1) ans += ed[tmp], ed[tmp] = -1, tmp = fa[tmp];
	} cout << ans << endl;
	return 0;
}

II. P2292 [HNOI2004] L 语言

首先我们有个显然的 DP：设 \(f_i\) 表示 \(i\) 前缀能否理解，那么若 存在 \(f_j = 1 \land t[j + 1,i]\in D\)，则 \(f_i = 1\)。否则 \(f_i = 0\)。对 \(D\) 建出 ACAM，设 \(t[1,i]\) 跳到了状态 \(p\)，我们只需要知道 \(p\) 的哪些长度的后缀是单词，这样就可以 \(\mathcal{O}(|t||s|)\) 回答单次询问，但不够快。

注意到 \(|s|\leq 20\)，因此考虑状压，设 \(msk_p\)：若 \(p\) 的长度为 \(l\) 的后缀是单词，则 \(msk_p\) 第 \(l\) 位为 \(1\)。这样，再用 \(S\) 记录 \(f_{i - 20}\sim f_{i - 1}\) 的状态，就可以通过位运算快速得到当前 \(f_i\) 的结果，并更新 \(S\)。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n|s||\Sigma| + m|t|)\)，其中 \(|\Sigma|\) 表示字符集大小。

*III. P2414 [NOI2011] 阿狸的打字机

由于删去一个字符和添加一个字符对字典树大小的影响均为 \(1\)，因此尽管单词长度之和可能很大，但建出的字典树大小仅有 \(m\)。设第 \(i\) 个单词在 trie 上的节点为 \(f_i\)，根据应用 1，求 \(x\) 在 \(y\) 中的出现次数可以在 \(y\) 到根的每个节点上打标记，查询 \(x\) 的子树内有标记的节点个数。

因此将询问离线，按 \(y\) 从小到大的顺序处理询问（为保证修改标记的总次数线性），套上 BIT 即可。时间复杂度线性对数。代码。

IV. P5357 【模板】AC 自动机（二次加强版）

根据 fail 树的性质 1，文本串 \(S\) 在 AC 自动机上每经过一个节点就将其权值增加 \(1\)，则每个单词 \(T_i\) 在 \(S\) 中的出现次数即 \(T_i\) 在 fail 树上的子树节点权值和。时间复杂度线性对数。

*V. P4052 [JSOI2007]文本生成器

ACAM 与 DP 相结合的例题。

VI. P3041 [USACO12JAN]Video Game G

非常套路的 ACAM 上 DP：设 \(f_{i, j}\) 表示长度为 \(i\) 且在 ACAM 上转移到状态 \(j\) 的字符串的最大权值，有转移 \(f_{i, j} + ed_{\delta(j, c)} \to f_{i + 1,\delta(j, c)}\)。时间复杂度 \(\mathcal{O}(nk|s_i||\Sigma|)\)。

*VII. CF1202E You Are Given Some Strings...

还算有趣的一道题目。对于同时与两个字符串相关的问题，考虑 在拼接处计算贡献，即求出 \(f_i\) 表示有多少单词是 \(t[1, i]\) 的后缀，\(g_i\) 表示有多少单词是 \(t[i, n]\) 的前缀。\(f_i\) 和 \(g_i\) 都可以用 ACAM 求出。最终答案为 \(\sum\limits_{i = 2} ^ {|t|} f_{i - 1} g_i\)，时间复杂度线性。代码。

VIII. CF163E e-Government

裸题。对 \(s\) 建出 ACAM，根据应用 1，使用性质 3 部分所给出的技巧：单点修改链上求和转化为子树修改单点求和（前提是一个端点为树根），BIT 维护即可。时间复杂度线性对数。代码。

*IX. P7456 [CERC2018] The ABCD Murderer

由于单词可以重叠（否则就不可做了），我们只需求出对于每个位置 \(i\)，以 \(i\) 结尾的最长单词的长度 \(L_i\)。因为对于相同的出现位置，用更短的单词去代替最长单词并不会让答案更优。使用 ACAM 即可求出 \(L_i\)。

最优化问题考虑 DP：设 \(f_i\) 表示拼出 \(s[1,i]\) 的最小代价。不难得到转移 \(f_i = \min_{\\j = i - L_i} ^ {i - 1} f_j\)。特别的，若 \(L_i\) 不存在（即没有单词在 \(s\) 中以 \(i\) 为结束位置出现）则 \(f_i\) 为无穷大。若 \(f_n\) 为无穷大则无解。可以线段树解决。

如果不想写线段树，还有一种方法：从后往前 DP。这样，每个位置可以转移到的地方是固定的（\(i-L_i\sim i - 1\)），所以用小根堆维护，懒惰删除即可。时间复杂度均为线性对数。

X. P3121 [USACO15FEB]Censoring G

非常经典的 AC 自动机题目。对 \(t\) 建出 SAM 加速匹配，每次加入一个字符，用栈在线维护字符串 \(s\) 即可。时间复杂度线性。

XI. P3715 [BJOI2017]魔法咒语

二合一屑题。考虑在 ACAM 上 DP，对于前 \(50\%\) 的数据，由于 \(L\) 很小，所以可以暴力 DP，时间复杂度 \(\mathcal{O}(L \times \sum |s_i| \times \sum |t_i|)\)。对于后 \(50\%\) 的数据，由于基本词汇长度 \(\leq 2\)，故直接把 \(f_i\) 和 \(f_{i - 1}\) 放到矩阵里面递推即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}((\sum |t_i|) ^ 3\log L)\)。

XII. CF696D Legen...

非常套路地设 \(f_{i, j}\) 表示长度为 \(i\) 且 ACAM 上状态为 \(j\) 时的最大贡献，令 \(ed_i\) 表示状态 \(i\) 所有后缀对应的所有单词权值之和，即不停跳 \(\mathrm{fail}\) 到达的所有节点权值之和，一个字典树上节点的权值为其所表示的所有单词权值之和。

显然有转移：\(f_{i, j} + ed_{\delta(j, c)}\to f_{i + 1, \delta(j, c)}\)，使用矩阵快速幂优化即可。时间复杂度 \(\mathcal{O}((\sum |s_i|) ^ 3\log L)\)。代码。

*XIII. P5840 [COCI2015]Divljak

由于 \(T\) 的形态会改变，所以考虑对 \(S\) 建出 ACAM。根据 fail 树的性质，问题即转化为对给定节点 \(p\ (t_p = S_x)\) 求存在多少个 \(P\in T\) 使得 \(p\) 的子树内存在 \(P\) 的每个前缀在 ACAM 上匹配到的节点。这相当于在添加 \(P\) 时，求出其依次匹配到的节点 \(q_1, q_2, \cdots, q_{|P|}\)，在 fail 树上对所有 \(q_i\) 到根的 链并 上的所有节点加 \(1\)。

上述经典问题可以通过将 \(q_i\) 按 dfs 序排序后，对 \(q_1\) 到根执行链加，然后对于每个 \(q_i\ (i > 1)\)，对 \(q_i\) 到 \(\mathrm{lca}(q_{i - 1}, q_i)\) 包含 \(q_i\) 的儿子执行链加。

考虑使用 1.2 提到的技巧，将链加和单点查询转化为单点修改，子树查询，此时只需对所有 \(q_i\) 加上 \(1\)，所有 \(\mathrm{lca}(q_{i - 1}, q_i)\ (i > 1)\) 减去 \(1\) 即可。时间复杂度线性对数。

2. 后缀自动机 SAM

后缀自动机全称 Suffix Automaton，简称 SAM，是一类极其有用但难以真正理解的字符串后缀结构（\(10\) 级）。它是笔者一年以前学习的算法，现在进行复习并重构学习笔记，看看能不能悟到一些新的东西。

2.1 基本定义与引理

SAM 相关的定义非常多，需要牢记并充分理解它们，否则学习 SAM 会非常吃力，因为符号化的语言相较于直观的图片和实例更难以理解。

首先，我们给出 SAM 的定义：一个长为 \(n\) 的字符串 \(s\) 的 SAM 是一个接受 \(s\) 的所有 后缀 的 最小 的有限状态自动机。具体地，SAM 有 状态集合 \(Q\)，每个状态是有向无环图上的一个节点。从每个状态出发有若干条或零条 转移边，每条转移边都 对应一个字符（因此，一条路径表示一个 字符串），且从一个状态出发的转移互不相同。根据 DFA 的定义，SAM 还存在 终止状态集合 \(F\)，表示从初始状态 \(T\) 到任意终止状态的任意一条路径与 \(s\) 的一个 后缀 一一对应。

SAM 最重要，也是最基本的一个性质：从 \(T\) 到任意状态的所有路径与 \(s\) 的 所有 子串 一一对应。我们称状态 \(p\) 表示字符串 \(t_p\)，当且仅当存在一条 \(T\to p\) 的路径使得该路径所表示的字符串为 \(t_p\)。根据上述性质，\(t_p\) 是 \(s\) 的子串。

  • 定义转移边 \(p\to q\) 表示的字符为 \(c_{p, q}\)。
  • 定义 \(\delta(p, c)\) 表示状态 \(p\) 添加字符 \(c\) 转移到的状态。
  • 定义 前缀 状态集合 \(P\) 由所有前缀 \(s[1, i]\) 对应的状态组成。
  • SAM 的有向无环转移图也是有向无环单词图（DAWG, Directed Acyclic Word Graph）。
  • \(\mathrm{endpos}(t)\)：字符串 \(t\) 在 \(s\) 中所有出现的 结束位置 的 集合。例如，当 \(s = \texttt{"abcab"}\) 时，\(\mathrm{endpos}(\texttt{"ab"}) = \{2, 5\}\)，因为 \(s[1 : 2] = s[4 : 5] = \texttt{"ab"}\)。
  • \(\mathrm{substr}(p)\)：状态 \(p\) 所表示的所有子串的 集合。
  • \(\mathrm{shortest}(p)\)：状态 \(p\) 所表示的所有子串中，长度 最短 的那一个子串。
  • \(\mathrm{longest}(p)\)：状态 \(p\) 所表示的所有子串中，长度 最长 的那一个子串。
  • \(\mathrm{minlen}(p)\)：状态 \(p\) 所表示的所有子串中，长度 最短 的那一个子串的 长度。\(\mathrm{minlen}(i) = |\mathrm{shortest}(i)|\)。
  • \(\mathrm{len}(i)\)：状态 \(p\) 所表示的所有子串中，长度 最长 的那一个子串的 长度。\(\mathrm{len}(i)=|\mathrm{longest}(i)|\)。

两个字符串 \(t_1, t_2\) 的 \(\mathrm{endpos}\) 可能相等。例如当 \(s = \texttt{"abab"}\) 时，\(\mathrm{endpos}(\texttt{"b"}) = \mathrm{endpos}(\texttt{"ab"})\)。这样，我们可以将 \(s\) 的子串划分为若干 等价类，用一个状态表示。SAM 的每个状态对应若干 \(\mathrm{endpos}\) 集合相同的子串。换句话说，\(\forall t\in \mathrm{substr}(p)\)，\(\mathrm{endpos}(t)\) 相等。因此，SAM 的状态数等于所有子串的等价类个数（初始状态对应空串）。

读者应该有这样的直观印象：SAM 的每个状态 \(p\) 都表示一个独一无二的 \(\mathrm{endpos}\) 等价类，它对应着在 \(s\) 中出现位置相同的一些子串 \(\mathrm{substr}(p)\)。\(\mathrm{shortest}(p),\mathrm{longest}(p),\mathrm{minlen}(p)\) 和 \(\mathrm{len}(p)\) 描述了 \(\mathrm{substr}(p)\) 最短和最长的子串及其长度。

转移边与 \(\mathrm{substr}\) 的联系：任意一条 \(T\to p\) 的路径 \(P\) 所表示的字符串 \(t_{P}\in \mathrm{substr}(p)\)。

在引出 SAM 的核心定义「后缀链接」前，我们需要证明关于上述概念的一些性质。下列引理的内容部分来自 OI-wiki，相关链接见 Part 2.4.

引理 1：考虑两个非空子串 \(u\) 和 \(w\)（假设 \(|u|\leq |w|\)）。要么 \(\mathrm{endpos}(u)\cup \mathrm{endpos}(w)=\varnothing\)，要么 \(\mathrm{endpos}(w) \subseteq \mathrm{endpos}(u)\)，取决于 \(u\) 是否为 \(w\) 的一个后缀：

\[\begin{cases}
\mathrm{endpos}(w) \subseteq \mathrm{endpos}(u) & \mathrm{if} \ u\ \mathrm{is\ a\ suffix\ of}\ w \\
\mathrm{endpos}(u) \cup \mathrm{endpos}(w) = \varnothing & \mathrm{otherwise}
\end{cases}
\]

证明：若存在位置 \(i\) 满足 \(i\in \mathrm{endpos}(u)\) 且 \(i\in \mathrm{endpos}(w)\)，说明 \(u\) 和 \(w\) 以 \(i\) 为结束位置在 \(s\) 中出现。由于 \(|u|\leq |w|\)，所以 \(u\) 必然是 \(w\) 的后缀，因此 \(w\) 出现的位置 \(u\) 必然以 \(w\) 的后缀形式出现，即对于任意 \(i\in \mathrm{endpos}(w)\) 有 \(i\in \mathrm{endpos}(u)\)。否则不存在这样的位置 \(i\)，即 \(\mathrm{endpos}(u) \cup \mathrm{endpos}(w) = \varnothing\)。

引理 2：考虑一个状态 \(p\)。\(p\) 所表示的所有子串长度连续，且 较短者总是较长者的后缀。

证明：根据引理 1，若两个子串 \(\mathrm{endpos}\) 相同（这也说明它们属于相同状态），则较短者总是较长者的后缀，后半部分得证。

对于前半部分考虑反证：假设 \(\mathrm{longest}(p)\) 长为 \(L\ (\mathrm{minlen}(p) < L < \mathrm{len}(p))\) 的后缀 \(t_L\notin \mathrm{substr}(p)\)。由于 \(t_L\) 是 \(\mathrm{longest}(p)\) 的 真后缀，故 \(\mathrm{endpos}(\mathrm{longest}(p)) \subseteq \mathrm{endpos}(t_L)\)。根据假设，\(\mathrm{endpos}(\mathrm{longest}(p)) \neq \mathrm{endpos}(t_L)\)。又因为 \(\mathrm{shortest}(p)\) 是 \(t_L\) 的 真后缀，故 \(\mathrm{endpos}(t_L) \subseteq \mathrm{endpos}(\mathrm{shortest}(p))\)，因此 \(|\mathrm{endpos}(\mathrm{longest}(p))| < |\mathrm{endpos}(t_L)| \leq |\mathrm{endpos}(\mathrm{shortest}(p))|\)，这与 \(\mathrm{endpos}(\mathrm{longest}(p)) = \mathrm{endpos}(\mathrm{shortest}(p))\) 矛盾，证毕。

简单地说，对于一个子串 \(t\) 的所有后缀，其 \(\mathrm{endpos}\) 集合大小随着后缀长度减小而单调不降。这很好理解：后缀越长，在 \(s\) 中出现的位置就越少。

推论 1：对于子串 \(t\) 的所有后缀，其 \(\mathrm{endpos}\) 集合大小随后缀长度减小而单调不降，且 较小的 \(\mathrm{endpos}\) 集合包含于较大的 \(\mathrm{endpos}\) 集合。

引理 2 是非常重要的性质。有了它，我们就可以定义后缀链接了。

  • 定义状态 \(p\) 的 后缀链接 \(\mathrm{link}(p)\) 指向 \(\mathrm{longest}(p)\) 最长 的一个后缀 \(w\) 满足 \(w\notin \mathrm{substr}(p)\) 所在的状态。换句话说，一个后缀链接 \(\mathrm{link}(p)\) 连接到对应于 \(\mathrm{longest}(p)\) 最长的处于另一个 \(\mathrm{endpos}\) 等价类的后缀所在的状态。根据引理 2，\(\mathrm{minlen}(i) = \mathrm{len(link}(i))+1\)。

引理 3：所有后缀链接形成一棵以 \(T\) 为根的树。

证明：对于任意不等于 \(T\) 的状态，沿着后缀链接移动总能达到一个所表示字符串更短的状态，直到 \(T\)。

  • 定义 后缀路径 \(p\to q\) 表示在后缀链接形成的树上 \(p\to q\) 的路径。

引理 4：通过 \(\mathrm{endpos}\) 集合构造的树（每个子节点的 \(\mathrm {subset}\) 都包含在父节点的 \(\mathrm{subset}\) 中）与通过后缀链接 \(\mathrm{link}\) 构造的树相同。

根据推论 1 与后缀链接的定义容易证明。因此，后缀链接构成的树本质上是 \(\mathrm{endpos}\) 集合构成的一棵树。

上图图源 OI-wiki。我们给出每个状态的 \(\mathrm{endpos}\) 集合以便更好理解引理 4：\(\mathrm{endpos}(\texttt{"a"}) = \{1\}\)，

\[\begin{aligned}
\mathrm{endpos}(\texttt{"ab"}) = \{2\} \\
\mathrm{endpos}(\texttt{"abcb", "bcb", "cb"}) = \{4\} \\
\end{aligned}
\subsetneq
\mathrm{endpos}(\texttt{"b"}) = \{2, 4\} \\
\]

\[\begin{aligned}
\mathrm{endpos}(\texttt{"abc"}) = \{3\} \\
\mathrm{endpos}(\texttt{"abcbc", "bcbc", "cbc"}) = \{5\} \\
\end{aligned}
\subsetneq
\mathrm{endpos}(\texttt{"bc", "c"}) = \{3, 5\} \\
\]

2.2 关键结论

我们还需要以下定理确保构建 SAM 的算法的正确性，并使读者对上述定义形成感性的直观的认知。

结论 1.1：从任意状态 \(p\) 出发跳后缀链接到 \(T\) 的路径，所有状态 \(q\in p\to T\) 的 \([\mathrm{minlen}(q),\mathrm{len}(q)]\) 不交，单调递减且并集形成 连续 区间 \([0,\mathrm{len}(p)]\)。

证明：根据后缀链接的性质 \(\mathrm{len}(\mathrm{link}(p)) + 1 = \mathrm{minlen}(p)\) 即证。

结论 1.2：从任意状态 \(p\) 出发跳后缀链接到 \(T\) 的路径，所有状态 \(q\in p\to T\) 的 \(\mathrm{substr}(q)\) 的并集为 \(\mathrm{longest}(p)\) 的 所有后缀。

证明：由结论 1.1 和后缀链接的定义易证。

结论 2.1：\(\forall t_p\in \mathrm{substr}(p)\)，若存在 \(p\to q\) 的 转移边，则 \(t_p + c_{p,q}\in \mathrm{substr}(q)\)。

证明：根据 \(\mathrm{substr}\) 的定义可得。

结论 2.2：\(\forall t_q\in \mathrm{substr}(q)\)，若存在 \(p\to q\) 的转移边，则 \(\exist t_p\in \mathrm{substr}(p)\) 使得 \(t_p+c_{p,q} = t_q\)。

证明：结论 2.1 的逆命题。这很好理解，因为对于任意 \(t_q\in \mathrm{substr}(q)\)，若不存在这样的 \(t_p + c_{p,q} = t_q\)，那么就不存在 \(T\to q\) 的路径使得其所表示字符串为 \(t_p + c_{p,q}\)，这与 \(t_q\in \mathrm{substr}(q)\) 矛盾。

结论 3.1：考虑状态 \(q\)，不存在转移 \(p\to q\) 使得 \(\mathrm{len}(p) + 1 > \mathrm{len}(q)\)。

证明：显然。

结论 3.2：考虑状态 \(q\)，**唯一 **存在状态 \(p\) 和转移 \(p\to q\) 使得 \(\mathrm{len}(p) + 1 = \mathrm{len}(q)\)。

证明：考虑反证法，若不存在这样的 \(p\)，说明 \(\forall p,\mathrm{len}(p)+1<\mathrm{len}(q)\)。根据结论 2.2，\(\mathrm{substr}(q)\) 中最长的一个串的长度为 \(\max_{\\ t_p\in \mathrm{substr}(p)} |t_p| + 1\) 即 \(\max_{\\ p} \mathrm{len}(p) + 1\)。根据 \(\mathrm{len}\) 的定义与 \(\mathrm{len}(p) + 1 < \mathrm{len}(q)\)，推得 \(\mathrm{len}(q) < \mathrm{len}(q)\)，矛盾。唯一性不难证明。

简单地说，若数集 \(T\) 由若干数集 \(S\) 的并加上 \(1\) 后得到，那么 \(\max_{\\ s\in S}s + 1 = \max_{\\ t\in T}t\)。

结论 3.3：考虑状态 \(q\)，唯一 存在转移 \(p\to q\) 使得 \(\mathrm{minlen}(p) + 1 = \mathrm{minlen}(q)\)。

证明：同理。

  • 定义 \(\mathrm{maxtrans}(q)\) 表示使得 \(\mathrm{len}(p) + 1 = \mathrm{len}(q)\) 且存在转移 \(p\to q\) 的唯一的 \(p\)。
  • 定义 \(\mathrm{mintrans}(q)\) 表示使得 \(\mathrm{minlen}(p) + 1 = \mathrm{minlen}(q)\) 且存在转移 \(p\to q\) 的唯一的 \(p\)。

结论 4.1：考虑状态 \(q\)，若存在转移 \(p\to q\)，则 \(p\) 在后缀链接树上是 \(\mathrm{maxtrans}(q)\) 或其祖先。

证明：由于所有 \(p\) 转移到相同状态 \(q\)，故所有 \(p\) 的 \(\mathrm{substr}(p)\) 的并，短串为长串的后缀。根据 \(\mathrm{link}\) 树的性质即证。

结论 4.2：考虑状态 \(q\)，若存在转移 \(p\to q\)，则 \(p\) 在后缀链接树上是 \(\mathrm{mintrans}(q)\) 或其子节点。

证明：同理。

结论 4.3：考虑状态 \(q\)，若存在转移 \(p\to q\)，则所有这样的 \(p\) 在 \(\mathrm{link}\) 树上形成了一条 深度递减的链 \(\mathrm{maxtrans}(q)\to \mathrm{mintrans}(q)\)。

证明：结合结论 4.1 与结论 4.2 易证。

可以发现上述性质大都与后缀链接有关，因为后缀链接是 SAM 所提供的最重要的核心信息。我们甚至可以抛弃 SAM 的 DAWG，仅仅使用后缀链接就可以解决大部分字符串相关问题。

  • 扩展定义：\(\mathrm{substr}(p\to q)\) 表示后缀路径 \(p\to q\) 上所有状态的 \(\mathrm{substr}\) 的并。

2.3 构建 SAM

铺垫了这么多，我们终于有足够的性质来建造 SAM 了。之前的长篇大论可能让读者认为它是一个非常复杂的算法：是，但不完全是。至少在代码实现方面，它比同级的 LCT 简单到不知道到哪里去了。

SAM 的构建核心思想是 增量法。我们在 \(s[1,i-1]\) 的 SAM \(A_{i - 1}\) 的基础上进行更新，从而得到 \(s[1,i]\) 的 SAM \(A_i\)。因此，该算法是 在线 算法。它主要分为三个步骤：

  1. 打开 SAM。
  2. 把字符插进去。
  3. 关上 SAM。

设 \(s[1,i - 1]\) 在 \(A_{i - 1}\) 上的状态为 \(las\)，当前状态数量为 \(cnt\)。\(las\) 和 \(cnt\) 的初始值均为 \(1\)，表示初始状态 \(T = 1\)。不要忘记初始化 \(las\) 和 \(cnt\)。

新建初始状态 \(cur \gets cnt + 1\)，并令 \(cnt\) 自增 \(1\) 表示状态数量增加 \(1\)。\(cur\) 即 \(s[1,i]\) 在 \(A_i\) 上对应的状态。\(\mathrm{endpos}(cur) = \{i\}\)。令变量 \(p\gets las\) 防止接下来的操作改变 \(las\)。

接下来我们考虑如何连指向 \(cur\) 的转移边：由于 \(las\to T\) 的后缀路径上的所有状态表示了所有 \(s[1, i - 1]\) 的后缀，因此若 \(p\) 没有 \(s_i\) 的转移边，就新建 \(p\to cur\) 字符为 \(s_i\) 的转移，并令 \(p\gets \mathrm{link}(p)\) 表示跳后缀链接。直到遇到路径上第一个有 \(s_i\) 出边的状态 \(p\)，此时就应该 停止 了，因为再连下去 \(T\to p\to \delta(p, s_i)\) 和 \(T\to p\to cur\) 会表示相同字符串，使相同出边指向两个不同节点，与 SAM 的性质相违背。此时需要分三种情况讨论：

Case 1：不存在 \(p\)。即后缀路径 \(las\to T\) 上的所有状态都没有字符 \(s_i\) 的转移边。

容易发现这种情况仅在 \(s_i\) 未在 \(s[1:i-1]\) 中出现过时发生。我们只需令 \(\mathrm{link}(cur)\gets T\) 即可。

Case 2：存在 \(p\)，令 \(q = \delta(p,s_i)\) 且 \(\mathrm{len}(p) + 1 = \mathrm{len}(q)\)。

令 \(\mathrm{link}(cur)\gets q\) 即可，原因如下：设 \(las\to T\) 后缀路径上 \(p\) 的前一个状态为 \(p'\)。根据操作，可知 \(p'\to cur\) 有一条转移边。则此时 \(\mathrm{minlen}(cur) = \mathrm{minlen}(p') + 1 = (\mathrm{len}(p) + 1) + 1 = \mathrm{len}(q) + 1\)，说明 \(q\) 恰好与 \(cur\) 的后缀链接的定义相匹配。

可以证明 \(\mathrm{substr}(q\to T)\) 是 \(s[1,i]\) 所有长度 \(\leq \mathrm{len}(q)\) 的后缀：由于 \(\mathrm{substr}(las\to T)\) 是 \(s[1,i - 1]\) 的所有后缀，又因为 \(p\) 在 \(las\to T\) 上，所以 \(\mathrm{longest}(p)\) 是 \(s[1,i-1]\) 长为 \(\mathrm{len}(p)\) 的后缀。而 \(p\to q\) 存在字符为 \(s_i\) 的转移边，故 \(\mathrm{longest}(q)\) 是 \(s[1,i]\) 长为 \(\mathrm{len}(p) + 1=\mathrm{len}(q)\) 的后缀。再根据结论 1.2 得证。这同时也证明了 \(\mathrm{link}(cur)\gets q\) 这一操作的正确性。

图源 hihocoder。上图中，在插入 \(s_5 = \texttt{a}\) 时，状态 \(p=las = 4\) 没有字符 \(\tt a\) 的转移，因此令 \(\delta(4,\texttt a ) = cur = 6\)，然后 \(p\gets \mathrm{link}(p) = 5\)。状态 \(5\) 也没有字符 \(\tt a\) 的转移，因此令 \(\delta(5,\texttt a ) = 6\)，然后 \(p\gets \mathrm{link}(p)= T\)，也就是图中的 \(S\)。

\(\delta(T,\texttt a )\) 存在，此时 \(p = T, q = \delta(T,\texttt a ) = 1\)。因为 \(\mathrm{len}(T) + 1 = \mathrm{len}(1)\)，所以令 \(\mathrm{link}(6)\gets 1\) 即可。

注意状态 \(4,5,6\) 所表示的子串，可以发现 \((\mathrm{substr}(4)\cup \mathrm{substr}(5)) + \texttt{a} = \mathrm{substr}(6)\)。这很好地验证了结论 2.1 和结论 2.2。

Case 3：存在 \(p\)，令 \(q = \delta(p,s_i)\) 但 \(\mathrm{len}(p) + 1 \neq \mathrm{len}(q)\)。

此时 \(\mathrm{len}(p) + 1 < \mathrm{len}(q)\)，我们需要将 \(q\) 拆成两个状态 \(q_1\) 和 \(q_2\)，将 \(\mathrm{substr}(q)\) 分成长度小于等于 \(\mathrm{len}(p) + 1\) 和大于 \(\mathrm{len}(p) + 1\) 两部分。具体地，先令 \(cnt \gets cnt + 1\)，然后新建一个状态 \(cl \gets cnt\) 表示将 \(\mathrm{substr}(q)\) 长度 \(\leq \mathrm{len}(p) + 1\) 的部分丢给 \(cl\)：

  • \(\mathrm{minlen}(cl)\) 等于原来的 \(\mathrm{minlen}(q)\)。
  • \(\mathrm{len}(cl)\) 等于 \(\mathrm{len}(p) + 1\)。
  • 新的 \(\mathrm{minlen}(q)\) 等于 \(\mathrm{len}(cl) + 1\)。

考虑 \(cl\) 如何继承 \(q\) 这一状态：首先，\(q\) 的所有转移要原封不动地存下来，故对于每个字符 \(c\) 都要 \(\delta(cl, c) \gets \delta(q, c)\)。此外，由于 \(\mathrm{minlen}(cl)\) 等于原来的 \(\mathrm{minlen}(q)\)，因此 \(\mathrm{link}(cl) \gets\) 原来的 \(\mathrm{link}(q)\)。同时，新的 \(\mathrm{minlen}(q)\) 等于 \(\mathrm{len}(cl) + 1\) 也即 \(\mathrm{len}(p) + 1\)，所以 \(\mathrm{link}(q),\mathrm{link}(cur)\gets cl\)。

此外，根据结论 4.3，我们知道后缀路径 \(p\to T\) 上转移到 \(q\) 的状态一定是路径的一段前缀，对于前缀上的所有节点 \(p’\)，我们需要把 \(\delta(p', s_i)\) 从本来的 \(q\) 改成 \(cl\)，因为我们把 \(\mathrm{substr}(q)\) 长度 \(\leq \mathrm{len}(p) + 1\) 的串丢给了状态 \(cl\)，所以对于原本能转移到 \(q\) 的所有 \(\mathrm{len}\) 值 \(\leq \mathrm{len}(p)\) 的状态（显然也是 \(p\to T\) 路径的前缀），都需要将字符 \(s_i\) 的转移 重定向 至 \(cl\)。

上图中，我们把 \(q = 3\) 的不大于 \(\mathrm{len}(p = T) + 1 = 1\) 的所有子串提出来，丢给一个新建的状态 \(cl=5\)，然后 \(\mathrm{link}(cur = 4)\gets cl = 5\)。内部 \(\mathrm{link}(q = 3)\gets cl = 5\)，同时 \(\mathrm{link}(cl = 5) \gets p = T\)，即原来的 \(\mathrm{link}(q)\)。

然后，从 \(p = T\) 往上跳后缀连接直到不存在连向 \(q = 3\) 的路径或到达根节点 \(T\)，表示对于 \(p\to T\) 的一段前缀，满足前缀上所有状态添加字符 \(s_i\) 能够转移到 \(q = 3\)，将它们字符为 \(s_i\) 的转移重定向至 \(cl = 5\)（当然，上例只有 \(T\) 一个点，不过并不一定会跳到 \(T\)，因为可能跳到中间的某个状态 \(p'\) 时就没有转移 \((p',q = 3)\) 了），即 \((T,3)\) 变为了 \((T,5)\)。

上述分类讨论结束后，令 \(las\gets cur\) 表示添加字符 \(s_{i+1}\) 时 \(s[1,i]\) 在 \(A_i\) 对应状态 \(cur\)。在实现中，我们通常在连接转移边之前执行该操作。构建 SAM 的代码如下：

const int N = 1e5 + 5;
const int S = 26;
int cnt = 1, las = 1, son[N][S], fa[N], len[N];
void ins(char s) {
	int it = s - 'a', p = las, cur = ++cnt;
	len[cur] = len[p] + 1, las = cur; // 计算 len[cur]，更新 las
	while(!son[p][it]) son[p][it] = cur, p = fa[p]; // 添加转移边
	if(!p) return fa[cur] = 1, void(); // case 1 
	int q = son[p][it];
	if(len[p] + 1 == len[q]) return fa[cur] = q, void(); // case 2
	int cl = ++cnt; cpy(son[cl], son[q], S); // 新建节点，cl 继承 q 的所有转移
	len[cl] = len[p] + 1, fa[cl] = fa[q], fa[q] = fa[cur] = cl; // 计算 len[cl] 以及 cl, q, cur 的后缀链接，注意 fa[cl] = fa[q] 要在 fa[q] = cl 之前
	while(son[p][it] == q) son[p][it] = cl, p = fa[p]; // 修改后缀路径 p -> T 的一段前缀
}

当字符集 \(\Sigma\) 非常大的时候，时空复杂度均无法接受，因此需要使用平衡树维护每个状态的所有转移边，可以用 map 代替。

2.4 时间复杂度证明

下设字符串 \(s\) 长度为 \(n\)，证明大部分摘自 OI wiki。

2.4.1 状态数上界

构建后缀自动机的算法本身就已经证明了其 SAM 状态数不超过 \(2n-1\)：插入 \(s_1,s_2\) 时分别产生一个状态，后续插入每个 \(s_i\) 时最多产生两个状态，因此当 \(n>1\) 时状态数不超过 \(2n-2\)，形如 \(\tt abb\cdots bb\) 的字符串达到上界。当 \(n=1\) 时状态数为 \(2n-1\)。

2.4.2 转移数上界

称 \(\mathrm{len}(p) + 1 = \mathrm{len}(q)\) 的转移 \((p, q)\) 为连续的，显然，从一个非终止状态 \(p\) 出发 有且仅有 一条连续转移 \((p,q)\)，对于 \(q\) 也有且仅有一个对应的 \(p\)。因此，连续转移总数不超过 \(2n-2\)。对于不连续的转移，找到从根节点 \(T\to p\) 的一条连续路径，设其所表示字符串为 \(u\)；找到从 \(q\) 到任意一个终止节点 \(f\in F\) 的一条连续路径，设其所表示字符串为 \(v\)。对于不同的 \(p,q\)，\(s_{p,q} = u + c_{p,q} + v\) 互不相同：若两个转移 \((p,q)\) 和 \((p', q')\) 出现 \(s_{p, q} = s_{p', q'}\) 的情况，由于不同路径所表示字符串不同，因此 \((p, q)\) 和 \((p', q')\) 在同一条路径，这与 \(T\to p\) 和 \(q\to F\) 连续矛盾。又因为 \(s_{p, q}\) 是 \(s\) 的真后缀（\(s\) 对应的路径转移显然连续），因此不连续的转移数量不超过 \(n-1\)。这样，我们得到了转移数上界 \(3n-3\)。

由于最大的状态数量仅在形如 \(\tt abb \cdots bb\) 的字符串中达到，此时转移数量小于 \(3n - 3\)。形如 \(\tt abb\cdots bbc\) 的字符串达到了 \(3n - 4\) 的上界。

2.4.3 操作次数上界

该部分 OI Wiki 上讲得较为简略，因此笔者自行证明了这一结论。在构建 SAM 的过程中，有且仅有将 \(p\to q\) 的转移边改为 \(p\to cl\) 的操作 不新建 转移边。因此，基于 转移数线性 这一结论，其它操作的时间复杂度均为线性。

定义 \(\mathrm{depth}(p)\) 表示 \(p\) 在 \(\rm link\) 树上的 深度。引理：若 \(p\to q\) 存在转移边，则 \(\mathrm{depth}(p)\geq \mathrm{depth}(q)\)。证明：

  • 考虑后缀路径 \(q\to T\) 上的任意两个不同状态 \(q_1, q_2\ (q_1 \neq q_2)\)。设 \(p_1\) 为任意能转移到 \(q_1\) 的状态，\(p_2\) 为任意能转移到 \(q_2\) 的状态。因为 \(\mathrm{substr}(q_1), \mathrm{substr}(q_2)\) 均为 \(\mathrm{longest}(q)\) 的后缀，因此 \(\mathrm{substr}(p_1), \mathrm{substr}(p_2)\) 均为 \(\mathrm{longest}(p)\) 的后缀。所以 \(p_1, p_2\) 均在后缀路径 \(p\to T\) 上。
  • 若 \(p_1 = p_2\)，则 \(p_1\) 通过同一字符能转移到不同状态，矛盾。因此 \(p_1\neq p_2\)。故能转移到 \(q\to T\) 上 任意 状态 \(q’\) 的所有状态 \(p'\) 均在 \(p\to T\) 上且 互不相同。由于对于每个 \(q'\) 至少存在一个与之对应的 \(p'\)（可能存在多个），因此 \(|q\to T|\leq |p\to T|\)，即 \(\mathrm{depth}(p)\geq \mathrm{depth}(q)\)。证毕。
  • 可结合下图以更好理解，其中 \(i \to i - 1\) 的边表示一条后缀链接，其余边表示转移边。
    常见字符串算法 II：自动机相关

假设我们从 \(p\) 一直跳到 \(p'\)，并将 \(p\to p'\) 路径上所有状态指向 \(q\) 的转移边改为指向 \(cl\)。设 \(q' = \delta(\mathrm{link}(p'), s_i)\)，容易证明 原 \(\mathrm{link}(q)\) 即 现 \(\mathrm{link}(cl) = q'\)。设 \(d = \mathrm{depth}(p) - \mathrm{depth}(p')\)，即从 \(p\) 开始跳 \(\mathrm{link}\) 的次数。根据上述引理，我们有 \(\mathrm{depth}(q') \leq \mathrm{depth}(p') = \mathrm{depth}(p) - d \leq \mathrm{depth}(las) - 1 - d\)。

同时，根据 \(\mathrm{link}(cur) = cl\)，\(\mathrm{link}(cl) = q'\) 可知 \(\mathrm{depth}(cur) - 2 \leq \mathrm{depth}(las) - 1 - d\)，即 \(d\leq \mathrm{depth}(las) - \mathrm{depth}(cur) + 1\)，这一不等式通过精确分析还可以更紧。因此，该部分操作的总时间复杂度可用 \(cur\) 相对于 \(las\) 的 深度减少量之和 来估计。同时，若进入 Case 1 或 Case 2，则因为 \(las\to cur\) 存在转移边，由引理得 \(\mathrm{depth}(cur)\leq \mathrm{depth}(las)\)，若进入 Case 3，则根据上述不等式有 \(\mathrm{depth}(cur) \leq \mathrm{depth}(las) + 1\)。因此，势能分析得到 \(\sum d\) 的级别为线性。

2.5 应用

2.5.1 求本质不同子串个数

根据 SAM 的性质，每个子串唯一对应一个状态，因此答案即 \(\sum \mathrm{len}(i) - \mathrm{len}(\mathrm{link}(i))\)。

2.5.2 字符串匹配

用文本串 \(t\) 在 \(s\) 的 SAM 上跑匹配时，我们可以得到对于 \(t\) 的每个 前缀 \(t[1, i]\)，其作为 \(s\) 的子串出现的 最长后缀 \(L_i\)：若当前状态 \(p\)（即 \(t[i - L_{i - 1}, i - 1]\) 所表示的状态）不能匹配 \(t_i\)（即 \(\delta(p, t_i)\) 不存在），就跳后缀链接令 \(p\gets \mathrm{link}(p)\) 并实时更新 \(L_i = \mathrm{len}(p)\) 直到 \(p = T\) 或 \(\delta(p, t_i)\) 存在，对于后者令 \(p\gets \delta(p, t_i)\)，\(L_i\) 还需再加上 \(1\)。若能匹配，则直接令 \(p\gets \delta(p, t_i)\) 并令 \(L_i\gets L_{i - 1} + 1\)。综合一下，我们得到如下代码：

for(int i = 1, p = 1, L = 0; i <= n; i++) {
	while(p > 1 && !son[p][t[i] - 'a']) L = len[p = fa[p]];
	if(son[p][t[i] - 'a']) L = min(L + 1, len[p = son[p][t[i] - 'a']]);
}

2.6 广义 SAM

广义 SAM，GSAM，全称 General Suffix Automaton，相对于普通 SAM 它支持对多个字符串进行处理。它可以看做对 trie 建后缀自动机。

一般的写法是每插入一个字符串前将 \(las\) 指针置为 \(T\)，非常方便。一个细节：构建单串 SAM 时，\(\delta(las, s_i)\) 一定不存在，但对于多串 SAM 可能存在。这说明当前字符串 \(s\) 的 \(i\) 前缀是某个已经添加过的字符串的子串。我们需要进行以下特判，否则会出现这种情况：https://www.luogu.com.cn/discuss/322224 。

  1. 当 \(q = \delta(las, s_i)\) 存在，且 \(\mathrm{len}(las) + 1 = \mathrm{len}(q)\) 时，令 \(las\gets q\) 并直接返回。
  2. 当 \(q = \delta(las, s_i)\) 存在，且 \(\mathrm{len}(las) + 1 \neq \mathrm{len}(q)\) 时，我们会新建节点 \(cl\)，并进行复制。此时，令 \(las\gets cl\) 而非 \(cur\)。这是因为 \(\mathrm{len}(cur) = \mathrm{len}(las) + 1\) 且 \(\mathrm{len}(cl) = \mathrm{len}(las) + 1\)，又因为 \(\mathrm{link}(cur) = cl\)，所以这说明 \(\mathrm{substr}(cur) = \varnothing\)，即 节点 \(cur\) 是空壳，真正的信息在 \(cl\) 上面。为此，我们舍弃掉这个 \(cur\)，并用 \(cl\) 代替它。
int ins(int p, int it) {
	if(son[p][it] && len[son[p][it]] == len[p] + 1) return son[p][it]; // 如果节点已经存在，且 len 值相对应，即 (p, son[p][it]) 是连续转移，则直接转移。
	int cur = ++cnt, chk = son[p][it]; len[cur] = len[p] + 1;
	while(!son[p][it]) son[p][it] = cur, p = fa[p];
	if(!p) return fa[cur] = 1, cur;
	int q = son[p][it];
	if(len[p] + 1 == len[q]) return fa[cur] = q, cur;
	int cl = ++cnt; cpy(son[cl], son[q], S);
	len[cl] = len[p] + 1, fa[cl] = fa[q], fa[q] = fa[cur] = cl;
	while(son[p][it] == q) son[p][it] = cl, p = fa[p];
	return chk ? cl : cur; // 如果 len[las][it] 存在，则 cur 是空壳，返回 cl 即可
}

上述方法本质相当于对匹配串建出 trie 后进行 dfs 构建 SAM。部分特殊题目会直接给出 trie 而非模板串，此时模板串长度之和的级别为 \(\mathcal{O}(|S| ^ 2)\)，因此只能 bfs 构建 SAM：设 \(P_p\) 表示 trie 树上状态 \(p\) 在 SAM 上对应的位置，若 trie 树 \(T\) 上的转移 \(q = \delta_T(p, c)\) 存在，其中 \(c\) 是 \(p\to q\) 所表示字符，那么以 \(P_p\) 作为 \(las\)，插入字符 \(c\) 后新的 \(las\) 即 \(P_q\)。此时 不需要 像上面一样特判，因为 \(\delta(P_p, c)\) 必然不存在，这是由于 bfs 使得 \(\mathrm{len}(P_p)\) 单调不降。模板题 P6139 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define cpy(x, y, s) memcpy(x, y, sizeof(x[0]) * (s))

const int N = 2e6 + 5;
const int S = 26;

ll n, ans, cnt = 1;
string s;
int len[N], fa[N], son[N][S];
int ins(int p, int it) {
	int cur = ++cnt; len[cur] = len[p] + 1;
	while(!son[p][it]) son[p][it] = cur, p = fa[p];
	if(!p) return fa[cur] = 1, cur;
	int q = son[p][it];
	if(len[p] + 1 == len[q]) return fa[cur] = q, cur;
	int cl = ++cnt; cpy(son[cl], son[q], S);
	len[cl] = len[p] + 1, fa[cl] = fa[q], fa[q] = fa[cur] = cl;
	while(son[p][it] == q) son[p][it] = cl, p = fa[p];
	return cur;
}

int node = 1, pos[N], tr[N][S];
void ins(string s) {
	int p = 1;
	for(char it : s) {
		if(!tr[p][it - 'a']) tr[p][it - 'a'] = ++node;
		p = tr[p][it - 'a'];
	}
}
void build() {
	queue <int> q; q.push(pos[1] = 1);
	while(!q.empty()) {
		int t = q.front(); q.pop();
		for(int i = 0, p; i < S; i++) if(p = tr[t][i])
			pos[p] = ins(pos[t], i), q.push(p);
	}
}
int main() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> s, ins(s);
	build();
	for(int i = 2; i <= cnt; i++) ans += len[i] - len[fa[i]];
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

2.7 常用技巧与结论

2.7.1 线段树合并维护 \(\mathrm{endpos}\) 集合

对于部分题目，我们需要维护每个状态的 \(\mathrm{endpos}\) 集合，以刻画每个子串在字符串中所有出现位置的信息。

为此，我们在 \(s[1, i]\) 对应状态的 \(\mathrm{endpos}\) 集合里插入位置 \(i\)，再根据 \(\mathrm{endpos}\) 集合构造出来的树本质上就是后缀链接树这一事实，在 \(\mathrm{link}\) 树上进行 线段树合并 即可得到每个状态的 \(\mathrm{endpos}\) 集合。这是一个非常有用且常见的技巧。

注意，线段树合并时会破坏原有线段树的结构，因此若需要在线段树合并后保留每个状态的 \(\rm endpos\) 集合对应的线段树的结构，需要在线段树合并时 新建节点。即 可持久化线段树合并。SAM 相关问题的线段树合并通常均需要可持久化。

特别的，如果仅为了得到 \(\mathrm{endpos}\) 集合大小，那么只需求出每个状态在 \(\mathrm{link}\) 树上的子树有多少个表示 \(s\) 的前缀的状态。前缀状态即所有曾作为 \(cur\) 的节点。对此，有两种解决方法：直接建图 dfs，以及 ——

2.7.2 桶排确定 dfs 顺序

显然后缀链接树上父亲的 \(\mathrm{len}\) 值一定小于儿子，但千万不能认为编号小的节点 \(\mathrm{len}\) 值也小。因此，对所有节点按照 \(\mathrm{len}\) 值从大到小进行桶排序，然后按顺序合并每个状态及其父亲是正确的，并且常数比建图 + dfs 小不少，代码见例题 I.

2.7.3 快速定位子串

给定区间 \([l, r]\)，求 \(s_{l, r}\) 在 SAM 上的对应状态：在构建 SAM 时容易预处理 \(s_{1, i}\) 所表示的状态 \(pos_i\)。从 \(pos_r\) 开始在 \(\mathrm{link}\) 树上倍增找到最浅的，\(\rm len\) 值 \(\geq r - l + 1\) 的状态 \(p\)​ 即为所求。

2.7.4 其它结论

  1. 在 \(\rm link\) 树上，若 \(p\) 是 \(q\) 的祖先，则 \(\mathrm{substr}(p)\) 中所有字符串在 \(\mathrm{longest}(q)\)（下记为 \(s\)）中出现次数与出现位置相同。具体证明见 CF700E 题解区。

2.8 注意点总结

  • 做题时不要忘记初始化 \(las\) 和 \(cnt\)。
  • 第二个 while 不要写成 son[p][it] = cur，应为 son[p][it] = cl。
  • SAM 开两倍空间。
  • 对于多串 SAM，如果每插入一个新字符串时令 \(las\gets T\)，且插入字符时不特判 \(\delta(las, s_i)\) 是否存在，会导致出现空状态，从而父节点的 \(\mathrm{len}\) 值 不一定严格小于 子节点，使得桶排失效。对此要格外注意。

2.9 例题

I. P3804 【模板】后缀自动机 (SAM)

对 \(s\) 建出 SAM，对于每个状态 \(p\) 求出其 \(\mathrm{endpos}\) 集合大小。根据题目限制，答案即 \(\sum_{\\ \mathrm{|endpos}(p)|\geq 2}\mathrm{len}(p)\times |\mathrm{endpos}(p)|\)。视字符集大小为常数，时间复杂度线性。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define cpy(x, y, s) memcpy(x, y, sizeof(x[0]) * (s))

const int N = 2e6 + 5; // 不要忘记开两倍空间
const int S = 26;

char s[N];
int cnt = 1, las = 1;
int son[N][S], len[N], fa[N];
int ed[N], buc[N], id[N];
ll n, ans;
void ins(char s) {
	int it = s - 'a', cur = ++cnt, p = las;
	las = cur, len[cur] = len[p] + 1, ed[cur] = 1;
	while(!son[p][it]) son[p][it] = cur, p = fa[p];
	if(!p) return fa[cur] = 1, void();
	int q = son[p][it];
	if(len[p] + 1 == len[q]) return fa[cur] = q, void();
	int cl = ++cnt; cpy(son[cl], son[q], S);
	len[cl] = len[p] + 1, fa[cl] = fa[q], fa[q] = fa[cur] = cl;
	while(son[p][it] == q) son[p][it] = cur, p = fa[p];
}
int main()  {
	scanf("%s", s + 1), n = strlen(s + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i++) ins(s[i]);
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) buc[len[i]]++;
	for(int i = 1; i <= n; i++) buc[i] += buc[i - 1];
	for(int i = cnt; i; i--) id[buc[len[i]]--] = i;
	for(int i = cnt; i; i--) ed[fa[id[i]]] += ed[id[i]];
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) if(ed[i] > 1) ans = max(ans, 1ll * ed[i] * len[i]);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

II. P4070 [SDOI2016]生成魔咒

非常裸的 SAM，插入每个字符后新增的子串个数为 \(\mathrm{len}(cur) - \mathrm{len}(\mathrm{link}(cur))\)，求和即可。由于字符集太大，需要使用 map 存转移数组。时间复杂度线性对数。

*III. P4022 [CTSC2012]熟悉的文章

首先二分答案 \(m\)，考虑设 \(f_i\) 表示文章的 \(i\) 前缀最长的符合限制的匹配长度。根据应用 2.5.2 我们可以求出文章的每个前缀作为字典子串出现的最长后缀长度 \(L_i\)，则 \(f_i = \max\limits_{j \in [i - L_i, i - m]} f_j + (i - j)\)。显然，\(L_i \leq L_{i - 1} + 1\)，因此 \(i - L_i\) 单调不降，故可以使用单调队列优化。时间复杂度线性对数。

IV. P5546 [POI2000]公共串

建出 GSAM 后，设 \(msk_i\) 表示 \(\mathrm{substr}(i)\) 在哪些串中出现过，以状压形式存储，直接在 \(\mathrm{link}\) 树上合并即可。

V. P3346 [ZJOI2015]诸神眷顾的幻想乡

由于叶子节点仅有 \(20\) 个，因此从每个叶子节点开始，整棵树都会形成一个字典树。将这 \(20\) 棵 Trie 树拼在一起求 GSAM 就做完了。

VI. P3181 [HAOI2016]找相同字符

建出两个串的 GSAM，设 \(ed_{1, i}\) 表示状态 \(i\) 关于 \(s_1\) 的 \(\mathrm{endpos}\) 集合大小，\(ed_{2,i}\) 同理。答案显然为 \(\sum ed_{1, i}\times ed_{2, i}\times (\mathrm{len}(i) - \mathrm{len}(\mathrm{link}(i)))\)。

VII. P5341 [TJOI2019]甲苯先生和大中锋的字符串

建出 \(s\) 的 SAM 后容易得到所有出现 \(k\) 次的子串状态。每个符合题意的状态的子串长度是一段区间，差分即可。时间复杂度线性。

VIII. P4341 [BJWC2010]外星联络

SAM 的转移函数刻画了一个字符串 \(s\) 的所有子串，因此直接在该 DAG 上贪心遍历即可。贪心指优先走字符小的出边。

*IX. P3975 [TJOI2015]弦论

根据一条路径表示一个子串的性质，考虑求出从每个节点开始的路径条数 \(d_i = 1 + \sum_\limits{\delta(i, c)} d_{\delta(i, c)}\) 帮助跳过不可能的分支，然后在 SAM 的 DAG 上模拟跑一遍即可。对于 \(t = 1\) 只需将上式中的 \(1\) 改为 \(ed_i\)。

*X. H1079 退群杯 3rd E.

给定字符串 \(s\)，多次询问求 \(s_{c\sim d}\) 有多少个子串包含 \(s_{a\sim b}\)。\(|s|, q \leq 2 \times 10 ^ 5\)。

设 \(L = b - a + 1\)。我们对每个位置 \(p \in [c + L - 1, d]\)，求出有多少个左端点 \(l \geq c\) 使得 \(s_{l \sim p}\) 包含 \(s_{a\sim b}\)。考虑找到 \(p\) 前面 \(s_{a\sim b}\) 的最后一次出现位置 \(q\)，则贡献显然为 \(\max(0, (q - L + 1) - c + 1)\)。

转化贡献形式，考虑每个落在 \([c + L - 1, d]\) 的 \(s_{a\sim b}\) 的出现位置 \(q\) 对答案的贡献。为方便说明，我们不妨假设 \(s_{a\sim b}\) 在 \(d + 1\) 处出现。考虑 \(s_{a\sim b}\) 在 \(q\) 之后的下一次出现 \(q'\)，则对于 \(p\in [q, q' - 1]\)，贡献均为 \((q - L + 1) - c + 1\)。注意到 \(2 - c - L\) 均与询问有关，与 \(q\) 无关，因此提出。则贡献可写为 \(q \times (q' - q)\)。即每个位置的下标值乘以和下一次出现之间的距离。线段树维护区间出现位置最小值，最大值即可维护该信息。

\(2 - c - L\) 的贡献次数为 \(d - (\min q) + 1\)，因为所有 \([q, q' - 1]\) 的区间并起来形成了区间 \([\min q, d]\)。对 \(\rm endpos\) 集合 可持久化 线段树合并，再使用 2.7.3 的技巧，即可做到 \(\log\) 时间内回答每个询问。时间复杂度线性对数。代码。

XI. CF316G3 Good Substrings

对所有串建出 GSAM，求出每个状态所表示的串在 \(s\) 和每个模式串中出现了多少次，若合法则统计答案即可。时间复杂度线性。

如果用先建出字典树再建 GSAM 的方法，空间开销会比较大，需要用 unsigned short 卡空间。

XII. SP8222 NSUBSTR - Substrings

这就属于 SAM 超级无敌大水题了吧。

XIII. 某模拟赛 一切的开始

给定字符串 \(s\)，求其两个 不相交 子串的长度乘积最大值，满足其中一个子串为另一个子串的子串。\(|s| \leq 10 ^ 5\)。

对 \(s\) 建出 SAM，对于每个状态 \(i\)，我们只关心其第一次出现 \(a\) 和最后一次出现的位置 \(b\)，因为这样最优，反证法可证。若前者是后者的子串，那么后者显然取满 \([a + 1, n]\)，前者长度即 \(L = \min(\mathrm{len}(i), b - a)\)。若后者是前者的子串，则后者一定尽量长，长度为 \(L\)，那么前者取满 \([1, b - L]\) 最优，长度即 \(b - L\)。

综上，答案即 \(\max\limits_i L \times \max(n - a, b - L)\)。时间复杂度线性。

*XIV. CF1037H Security

考虑直接在后缀自动机的 DAWG 上贪心。使用线段树合并判断当前字符串是否作为 \([l, r]\) 的子串出现过，时间复杂度 \(\mathcal{O}(|\Sigma|n\log n)\)。代码。

*XV. CF700E Cool Slogans

容易发现 \(s_{i - 1}\) 在 \(s_i\) 中一定同时以前缀和后缀的形式出现，否则调整法证明可以做到更优。我们使用 \(s_{i - 1}\) 在 \(s_i\) 中作为后缀的性质，考虑直接在 \(\rm link\) 树上 DP。

再根据 2.7.4 的结论一（实际上这个结论是笔者做本题时才遇到的），我们可以设 \(f_p\) 表示 \(\mathrm{longest}(p)\) 的答案，以及 \(g_p\) 表示 \(p\) 的祖先中答案取到 \(f_p\) 的深度最小的状态，因为我们要让串长尽可能小，这样出现次数更多。转移即检查 \(\mathrm{longest}(g_{\mathrm{link}(p)})\) 在 \(\mathrm{longest}(p)\) 中是否出现了至少两次，这相当于检查 \(\mathrm{longest}(g_{\mathrm{link}(p)})\) 是否在 \(\mathrm{longest}(p)\) 的某个出现位置 \(pos\) 之前的一段区间 \([pos - \mathrm{len}(p) + \mathrm{len}(g_{\mathrm{link}(p)}), pos - 1]\) 处出现，容易用线段树合并维护 \(\rm endpos\) 集合做到。若是，则令 \(f_p = f_{\mathrm{link}(p)} + 1\)，\(g_p = p\)。否则 \(f_p = f_{\mathrm{link}(p)}\)，\(g_p = g_{\mathrm{link}(p)}\)。

\(\max f_p\) 即为答案，时空复杂度线性对数。代码。

*XVI. CF666E Forensic Examination

SAM 各种常用技巧结合版。首先对 \(s\) 和 \(t_i\) 一并建出 GSAM，线段树维护每个节点对应的子串在每个 \(t_i\) 中出现的次数，即线段树 \(T_p\) 的位置 \(i\) 上记录着 \(p\) 所表示的所有串在 \(t_i\) 中的出现次数。由于题目还需求最小编号，所以线段树维护区间最大出现次数以及对应最小编号。

使用线段树合并，预处理 \(\rm link\) 的倍增数组以快速定位子串，单次询问只需倍增到 \(s[pl, pr]\) 的对应状态 \(p\)，查询 \(T_p\) 上 \([l, r]\) 的信息即可。时空复杂度均为线性对数。代码。

2.10 相关链接与资料

3. 回文自动机 PAM

省选前两周填坑。之所以不是省选之后是因为担心省选考这玩意。