堆排序及相关知识
堆排序
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。
堆
堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
ok，了解了这些定义。接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：
堆排序基本思想及步骤
堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
题目：假设给定无序序列结构如下
- 此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
- 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a. 将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
b. 重新调整结构，使其继续满足堆定义
c. 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
再简单总结下堆排序的基本思路：
a. 将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
b. 将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
c. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
.NET代码实现
//对于大顶堆：arr[i] >= arr[2i + 1] && arr[i] >= arr[2i + 2]
//对于小顶堆：arr[i] <= arr[2i + 1] && arr[i] <= arr[2i + 2]
//1、将无序序列构建成一个大顶堆。
//2.将堆顶元素和最后一个元素交换，然后将剩下的节点重新构造成一个大顶堆；
//3.重复步骤2，如此反复，从第一次构建大顶堆开始，每一次构建，我们都能获得一个序列的最大值，然后把它放到大顶堆的尾部。最后，就得到一个有序的序列了
//3, 2, 3, 1, 2, 4, 5, 5, 6
public int[] HeapSort(int[] nums)
{
//1.构建初始堆
//这里元素的索引是从0开始的,所以最后一个非叶子结点array.length/2 - 1
for (int i = nums.Length / 2 - 1; i >= 0; i--)
{
adjustHeap(nums, i, nums.Length);
}
// 上述逻辑，建堆结束
//2.下面，开始排序逻辑
for (int j = nums.Length - 1; j > 0; j--)
{
// 元素交换,作用是去掉大顶堆
// 把大顶堆的根元素，放到数组的最后；换句话说，就是每一次的堆调整之后，都会有一个元素到达自己的最终位置
swap(nums, 0, j);
// 元素交换之后，毫无疑问，最后一个元素无需再考虑排序问题了。
// 接下来我们需要排序的，就是已经去掉了部分元素的堆了，这也是为什么此方法放在循环里的原因
// 而这里，实质上是自上而下，自左向右进行调整的
adjustHeap(nums, 0, j);
}
return nums;
}
public static void adjustHeap(int[] array, int i, int length)
{
// 先把当前元素取出来，因为当前元素可能要一直移动
int temp = array[i];
for (int k = 2 * i + 1; k < length; k = 2 * k + 1)
{ //2*i+1为左子树i的左子树(因为i是从0开始的),2*k+1为k的左子树
// 让k先指向子节点中最大的节点
if (k + 1 < length && array[k] < array[k + 1])
{ //如果有右子树,并且右子树大于左子树
k++;
}
//如果发现结点(左右子结点)大于根结点，则进行值的交换
if (array[k] > temp)
{
swap(array, i, k);
// 如果子节点更换了，那么，以子节点为根的子树会受到影响,所以，循环对子节点所在的树继续进行判断
i = k;
}
else
{ //不用交换，直接终止循环
break;
}
}
}
public static void swap(int[] arr, int a, int b)
{
int temp = arr[a];
arr[a] = arr[b];
arr[b] = temp;
}
.NET中堆排序源码
private void Heapsort(int lo, int hi)
{
int n = hi - lo + 1;
for (int i = n / 2; i >= 1; i--)
{
DownHeap(i, n, lo);
}
for (int i = n; i > 1; i--)
{
Swap(lo, lo + i - 1);
DownHeap(1, i - 1, lo);
}
}
private void DownHeap(int i, int n, int lo)
{
object? d = keys.GetValue(lo + i - 1);
object? dt = items?.GetValue(lo + i - 1);
int child;
while (i <= n / 2)
{
child = 2 * i;
if (child < n && comparer.Compare(keys.GetValue(lo + child - 1), keys.GetValue(lo + child)) < 0)
{
child++;
}
if (!(comparer.Compare(d, keys.GetValue(lo + child - 1)) < 0))
break;
keys.SetValue(keys.GetValue(lo + child - 1), lo + i - 1);
items?.SetValue(items.GetValue(lo + child - 1), lo + i - 1);
i = child;
}
keys.SetValue(d, lo + i - 1);
items?.SetValue(dt, lo + i - 1);
}
