主要是可能比较杂碎，所以就单独列在这里了。
（1）
\[\binom{n}{m} = \binom{n}{n-m}
\]
\]
可以通过组合数的定义证明，虽然简单但是很常用。
（2）
\[\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m} + \binom{n-1}{m-1}
\]
\]
可以理解为枚举最后这一个选或者不选
（3）
\[\sum_{j=0}^i \binom{i}{j} = 2^i
\]
\]
这个在组合意义上其实是比较显然的，就是说 \(2^i\) 肯定是包含每一种选择的情况，而前面的式子也显然也是的
（4）范德蒙德卷积
\[\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \times \binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}
\]
\]
其实就是枚举在 \(n\) 个和 \(m\) 个里分别选择多少个
（5）
\[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0
\]
\]
可以通过二项式定理证明
（6）
\[\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} = n2^{n-1}
\]
\]
（7）
\[\sum_{k=0}^n k^2 \binom{n}{k} = n(n+1)2^{n-2}
\]
\]
（8）
\[\sum_{i=0}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1}
\]
\]
（9）二项式定理
\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k y^{n-k}
\]
\]
组合意义的话，就是我们每一次乘可以理解为乘 \(x\) 或者乘 \(y\)，那么乘 \(k\) 次 \(x\) 的方案数就是系数也就是 \(\binom{n}{k}\)，那么剩下的显然就是乘 \(y\) 了
