最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）为边权和最小的生成树。

算法

Kruskal 算法

实现

将所有的边按边权从小到大排序，然后用并查集维护一条边所连接的两个点是否已联通（不能形成环）。

int find(int x) {
	return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

ll kruskal() {
	ll tot = 0, cot = 0;
	sort(e + 1, e + m + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		fa[i] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
		int x = e[i].u, y = e[i].v;
		int fx = find(x), fy = find(y);
		if (fx != fy) {
			fa[fx] = fy;
			tot += e[i].w;
			++ cot;
			if (cot >= n - 1)	return tot;
		}
	}
	return 0;
}

Prim 算法

原理与 dijkstra 是一样的，都是用了贪心的思想。
dis[v] 连向 \(v\) 点的最小生成树的边的边长。

void prim() {
	priority_queue<pil, vector<pil>, greater<pil> > q;
	q.push(make_pair(0, 1));
	while (!q.empty()) {
		int u = q.top().second;
		q.pop();
		if (vis[u])	continue;
		++ cnt;
		tot += dis[u];
		vis[u] = 1;
		if (cnt >= n)	return ;
		for (auto it : son[u]) {
			int v = it.first, w = it.second;
			if (dis[v] > w) {
				dis[v] = w;
				q.push(make_pair(dis[v], v));
			}
		}
	}
}