题目

有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。
要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

思路

具有最优子结构性质和贪心选择性质。只要是所有物品的总重量大于背包容纳量，那么背包一定能装满。注意背包问题与0-1背包问题的区别。
这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。

算法逻辑

用贪心算法解背包问题的基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值v[i]/w[i]，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
//按照单位重量的价值量大小降序排列
void Sort(int n,float *w,float *v)
{
    int i,j;
    float temp1,temp2;
    for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n-i;j++)//冒泡排序
    {
        temp1=v[j]/w[j];
        temp2=v[j+1]/w[j+1];
        if(temp1<temp2)
        {
            swap(w[j],w[j+1]);
            swap(v[j],v[j+1]);
        }
    }
}
int main()
{
    float w[101];//用来表示每个物品的重量
    float v[101];//用来表示每个物品的价值量
    float x[101];//表示最后放入背包的比例
    int n;//物品数
    float M;//背包最大容纳重量
    cin>>n>>M;
    //依次输入每件物品的重量和价值量
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    //按照单位重量的价值量大小降序排列
    Sort(n,w,v);
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
        x[i]=0;//初始值，未装入背包，x[i]=0
    float c=M;//更新背包容纳量
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(c<w[i])  break;//不能完全装下
        x[i]=1;
        c=c-w[i];
    }
    if(i<=n)
        x[i]=c/w[i];
    //输出
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<"重量为"<<w[i]<<"价值量为"<<v[i]<<"的物品"<<"放入的比例为"<<x[i]<<endl;
    return 0;
}

最终结果

背包问题的贪心策略常见的有三种：

1.优先选择价值高的物品，这样可以保证装入背包的价值有效增长，但背包容量消耗过快。
2.优先选择重量小的物品，可以保证背包中装入尽可能多的物品，但物品的价值却不能保证有效增长。
3.结合物品的价值与重量，选择一个新的权重=价值/重量来衡量物品，优先装入权重大的，这样不仅能保证价值的有效增长，还能解决背包容量消耗过快的问题。