前言

今天不讲编程知识，谈谈与编程相关的数学。

本文使用数学符号：

⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁻ ⁿ ∵ ∴

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + - n 因为 所以

请确认能否正常显示

> 题目

已知a是大于1的实数，且有a³+a⁻³=p,a³-a⁻³成立.
 (1)若p+q=4,求p-q的值;
 (2)当q²=2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2(n>=1,且n是整数)时,比较p与(a³+1/4)的大小,并说明理由.

> 解题知识点

//图片出处：义务教育教科书·数学八年级上册（人教版）
https://www.zxx.edu.cn/tchMaterial/detail?contentType=assets_document&contentId=81264e9e-22bc-4289-8389-13b40433b5ba&catalogType=tchMaterial&subCatalog=dzjc
P144

若A-B > 0,则A > B;
若A-B = 0,则A = B;
若A-B < 0,则A < B;

> 解题过程

>> 第一小题

题目刚上手，一看，简单！
把a³+a⁻³=p``a³-a⁻³=q代入到p+q=4中，
得到2a³=4,所以a³=2
又因为a³=2,所以a⁻³=1/2,
所以p-q=2a⁻³=1,得出答案。

可能是由于这道题出现在一本难度系数较低的练习中，再加上如此容易的第一小题，我小看了这道题的难度...

>> 第二小题

当q²=2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2(n>=1,且n是整数)时,比较p与(a³+1/4)的大小,并说明理由.

题目拿上手，嗯，写的挺复杂，但实际应该比较简单，毕竟很多题都是这样滴。

>> · 第一次尝试

根据已知，等式的左边q²可以用多项式a³-a⁻³代入，得到

    q²
= (a³-a⁻³)²
= a⁶ + a⁻⁶ -2
∵ q²=2²ⁿ + 2⁻²ⁿ - 2
∴ a⁶ + a⁻⁶ -2 = 2²ⁿ + 2⁻²ⁿ - 2
∴ a⁶ + a⁻⁶ = 2²ⁿ + 2⁻²ⁿ

然后？

同时开方，是不是得到了a³-a⁻³ = 2ⁿ + 2⁻ⁿ?

等等，好像不对，这玩意是多项式，不能这么开方。

>> · 第二次尝试

既然拆q²不行, 那看看等式的右边？

嗯，2²ⁿ + 2⁻²ⁿ - 2，这不妥妥的完全平方式嘛！

分解因式，得(2ⁿ - 2⁻ⁿ)²

∵ n >= 1
∴ a³-a⁻³ = 2ⁿ - 2⁻ⁿ

可是思绪戛然而止，竟是停在了此处...
能否得到a=2,n=3呢？
可是如果a=4,n=6等式也成立呀...

>> · 第三次尝试

一般这种大题第1小题与第2小题是有联系的,所以抬头看了看第1小题，又看了看已知。

知道了q²，如何转成需要的p?

让我们看看p、q的关系：

a³+a⁻³ = p
a³-a⁻³ = q

实在没办法，相加相减试试？

p + q = 2a³ (1)

p - q = 2a⁻³ (2)

我看向了等式的右边，a³*a⁻³=1，那么...

(1)*(2),得：
(p+q)(p-q) = 4

而根据平方差公式，(p+q)(p-q) = p² - q²,

∴ p² - q² = 4

有戏！
把q²代成2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2，刚才已经算过，2²ⁿ+2⁻²ⁿ-2就会等于(2ⁿ - 2⁻ⁿ)²，而我们知道，由完全平方公式可以推导出(a+b)²=(a-b)²+4ab，此处a为2ⁿ,b为2⁻ⁿ,ab=1,所以

p² = 4+(2ⁿ - 2⁻ⁿ)² = (2ⁿ + 2⁻ⁿ)²

到此，我们可以得到，

p = 2ⁿ + 2⁻ⁿ
q = 2ⁿ - 2⁻ⁿ

再看题目所求，1/4显然应该与2ⁿ比较，而不应与未知的a³比较，我们需要求2ⁿ与a³的关系。

继续使用相加相减，

p+q = 2*2ⁿ

而前面算过p + q = 2a³,所以

a³ = 2ⁿ

到此，这道题也简单了：
比较两个数，用求差法，

a³+a⁻³-(a³+1/4)
= a⁻³-1/4
= 2⁻ⁿ-4⁻¹
= 2⁻ⁿ-2⁻²

因为n>=1且n为整数,所以：
当n等于1时，p<(a³+1/4);
当n等于2时，p=(a³+1/4);
当n为大于2的整数时，p>(a³+1/4).

至此，这道题终于解开。

总结

在真正解这道题之前，我从未想过他将花费我如此多的脑力。
所以，永远不要低估任何一个事物。

The End
Yuito 2023