Definition. (Measure of bounded intervals)

假设 \(I\) 为一个任意形式的有界区间，即 \((a, ~ b)\) 或 \([a, ~ b)\) 或 \((a, ~ b]\) 或 \([a, ~ b]\)，其中 \(a, ~ b \in \mathbb{R}, ~ a \leq b\)，它的测度（Measure）定义为其区间长度 \(l(I) = b - a\)。特殊地，如果 \(a = b\)，即该区间为单点集 \(\left\{ a \right\}\) 或 \(\left\{ b \right\}\)，单点集为测度为零的区间。

Definition. (Null Sets)

一个零测集(Null set) \(A \subset \mathbb{R}\) 定义为一个可以被一个由足够小的区间构成的序列覆盖的集合，即：

\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n}: n \in \mathbb{N}^{+}, \; I_{n} \mbox{ are intervals} \right\}: A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}, \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) < \varepsilon
\]

Theorem 6.1

\(\mathbb{R}\) 上的任意单点集合的测度都为0。

证明很显然，就不分段给出了。对于任意单点集合 \(\left\{ a \right\}, a \in \mathbb{R}\)，设区间序列 \(I_{1} = [a, a], ~ I_{2} = [a, a], \ldots\)，那么对于任意的 \(\varepsilon > 0\)，自然有 \(\left\{ a \right\} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}\), 且 \(\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) = 0 < \varepsilon\)。

Theorem 6.2

若 \(\left( N_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}\) 为零测集序列，那么它们的并集 \(N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n}\) 也为零测集。

Proof. (Theorem 6.2)

注意：此证明按照思考的逻辑书写，之后的构造不再花费篇幅介绍思路

对于 \(\forall n \in \mathbb{N}^{+}: N_{n}\) 为零测集，由定义：

\[\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \forall \varepsilon_{n} > 0: ~ \exists \left\{ I_{t}^{n} \right\}^{\infty}_{t=1}: ~ N_{n} \subset \bigcup^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \varepsilon_{n}
\]

同理，欲证 \(N = \bigcup^{\infty}_{n=1} N_{n}\) 为零测集，须证：

\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}: ~ N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{m}, ~ \sum\limits^{\infty}_{m=1} l(I_{m}) < \varepsilon
\]

以上任意的 \(I_{t}^{n}\) 和任意的 \(I_{m}\) 都为有界区间。

现在，对于 \(\forall n \in \mathbb{N}^{+}, ~ \forall t \in \mathbb{N}^{+}\)，重新排列 \(I_{t}^{n}\)：令：

\[\left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1} = \left\{ I_{t}^{n} \right\}_{t \in \mathbb{N}^{+}, ~ n \in \mathbb{N}^{+}}
\]

\(\left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}\) 中每一项 \(I_{m}\) 都为原先的有界区间 \(I_{t}^{n}\)，那么欲证的定义变为：

\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1} = \left\{ I_{t}^{n} \right\}_{n, ~ t \in \mathbb{N}^{+}}: ~ N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{m=1} I_{m} = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{m=1} l(I_{m}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \varepsilon
\]

由于 \(N_{n}\) 为零测集 for \(\forall n \in \mathbb{N}^{+}\)，由上述定义：

\[\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}
\]

则必有：

\[\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n} = N \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}
\]

对于任意的 \(\varepsilon > 0\) 和任意的 \(n \in \mathbb{N}^{+}\)，令 \(\varepsilon_{n} = \frac{\varepsilon}{2^{n}}\)，则对于：

\[\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \frac{\varepsilon}{2^{n}} = \varepsilon_{n}
\]

由此可见：

\[\sum\limits^{\infty}_{n=1} \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{\varepsilon}{2^{n}} = \frac{\varepsilon}{2^{1}} + \frac{\varepsilon}{2^{2}} + \frac{\varepsilon}{2^{3}} + \cdots = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\frac{\varepsilon}{2}\left( 1 - (\frac{1}{2})^{k} \right)}{1 - \frac{1}{2}} = \varepsilon
\]

所以我们可以根据由 \(\left\{ N_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 中的每个零测集 \(N_{n}\) 确定的有界区间序列 \(\left\{ I_{t}^{n} \right\}^{\infty}_{t=1}\)，来确定用以证明 \(N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n}\) 为零测集的有界区间序列 \(\left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}\)。

故：

\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}: N = \bigcup^{\infty}_{n=1} N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{m=1} I_{m}, ~ \sum\limits^{\infty}_{m=1} l(I_{m}) < \varepsilon
\]

说明 \(N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n}\) 为零测集。

Corollary 6.3

任意可数集都是零测集。

Proof. (Corollary 6.3)

\(A = \left\{ a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 为可数集，\(a_{n} \in \mathbb{R}\)，则对于 \(\forall n \in \mathbb{N}\)，\(\left\{ a_{n} \right\}\) 为 null set，则 \(A\left\{ a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 也为 null set。

Example. Uncountable sets can be null: Cantor set.

Cantor set 的构造：

  1. 从区间 \([0, 1]\) 开始，移除 “中间 \(\frac{1}{3}\) 段” （即区间\((\frac{1}{3}, \frac{2}{3})\)），得到集合:
\[C_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}， 1]
\]

且：

\[l(C_{1}) = \frac{2}{3}
\]

  1. 接下来，移除 \(C_{1}\) 两个部分的 “中间 \(\frac{1}{3}\) 段”， 得到集合：
\[C_{2} = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{3}{9}] \cup [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]
\]

且：

\[l(C_{2}) = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}
\]

  1. 相似地依次得到 \(C_{n}\)。\(C_{n}\) 为互不相交的区间的有限并集，并且 \(l(C_{n})\) 为这些区间的总长度。可以发现，\(C_{n}\) 由 \(2^{n}\) 个互不相交的闭区间构成，\(l(C_{n}) = \left( \frac{2}{3} \right)^{n}\)。

Cantor set：\(C = \bigcap\limits^{\infty}_{n=1}C_{n}\) 为一个不可数集，可以用转换三进制的方法证明。

Corollary 6.4

任何零测集的子集都是零测集。

Proof. (Corollary 6.4)

设 \(A\) 是一个 null set。由定义：

\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}) < \varepsilon
\]

则对于 \(\forall B \subset A\)，有：

\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ B \subset A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) < \varepsilon
\]

因此任意 null set 的子集也为 null set。