前言

作为一名工科学生，微积分是一种工具，几个学期的学习之后，微积分已然离我们远去。

但随着学习的深入，会发现一次又一次，微积分以一种卑微(基础工具)而高大(基石)的身影不断出现。你似乎对他熟悉，却又在仔细的审视中感到十分的陌生。求导，求积分我们熟练无比，但是为什么是这样？

人工智能中的神经网络算法， 描述电磁世界的麦克斯韦方程式....。

1 导数

对于微积分的描述，总是以 路程(S)-时间(t) 速度(v)-时间(t) 图像的引入开始。因为牛顿发明微积分就是为了解决物理问题！从微分求导开始，抵达积分为终止点。

导数可以看作是图像 某一段 的平均变化率，对应 平均速度。

\[\frac{\Delta s(t)}{\Delta t} = \frac{ s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}
\]

当 \(\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\), 同时引入 \(dt\) 来表示这一段的长度无限小。

图像的这一段很小, 有多小呢？要多小有多小，比原子还小，比任何我们可以想象出来的距离还小！ 就像是一个点。

\[s(t + dt) = s(t)
\]

用 \(ds(t)\) 来表示他们的差。

\[\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}=\frac{ds(t)}{dt} =\frac{s(t + dt) - s(t)}{dt}
\]

事实是这样的，虽然 \(ds\) \(dt\) 都很小，但是他们比值的结果并不小。

eg.

\[s(t)=t^2
\]

\[\frac{\Delta s(t)}{\Delta t} = \frac{ s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}=2t + \Delta t
\]

\[\lim_{ \Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta s(t)}{\Delta t}=\frac{ds(t)}{dt} =\frac{s(t + dt) - s(t)}{dt}=2t
\]

(Informal ) 某一 路程(S)-时间(t) (函数)的图像中。由于对于上式的计算化简(导数公式的来源)，对于路程函数s(t)的任意一时间 t, 我们总能找到与之对应的 速度v(t).

\[\frac{ds(t)}{dt} =\frac{s(t + dt) - s(t)}{dt} = v(t)
\]

导数并不难，下面就是积分了。以及导数和积分的关系。

2 积分

求积分就是求面积。对于速度图像 速度(v)-时间(t)， 要想求其下的面积可以用固定间隔 \(\Delta t\) 将其分成小长条。这里我们分成3块。

\[v(1)\Delta t + v(2)\Delta t + v(3)\Delta t = \sum_{t=1}^{3} v(t) \Delta t
\]

这个时候是可以手工计算出来的。 但是误差会比较大。

我们缩短间隔，变成长度趋于零的 \(dt\)。由于 \(dt\) 间隔无限小，我们可以划分出无限多的小长条。并且将他们加起来。\(\int\) 表示求和。

\[\int_{start}^{end} v(t)dt
\]

但是怎么算呢？这么多东西不是手工可以加起来的。我们可以仔细看看上面的式子，并对其做出变换。

\[\int v(t)dt=\int \frac{ds(t)}{dt} dt= \int \frac{s(t + dt) - s(t)}{dt} dt = \int s(t + dt) - s(t)
\]

最终等于无数个小间隔于 路程(S)-时间(t) 图像中的函数值s(t)之差的和。

\[s(t_{end} + dt) - s(t_{end}) + s(t_{end}) - s(t_{end} - dt) + s(t_{end} - dt) - s(t_{end} - 2dt) + ..... - s(t_{start})
\]

\[s(t_{end} + dt) - s(t_{start}) = s(t_{end}) - s(t_{start})
\]

为什么\(s(t_{end} + dt) = s(t_{end})\)? 因为 \(0.9999999... = 1\)

所以我们可以把待求积分的函数看作是一个导函数 v(t)， 无法直接求出无数项相加转而去寻找其原函数s(t)在这一段的差值。积分的表示是一种无限小的极限想法，而计算则需要与导数相连

注：

2022.2.28日，由麦克斯韦方程组引发对于微积分的再次探究。